1.随机变量函数的定义

2.离散型随机变量函数的分布列--分两种情形讨论

(1)函数值取值两两不同；

(2)函数值取值中有相同的项。

3.连续型随机变量函数的分布

(1)连续型随机变量函数的分布定理；

(2)连续型随机变量函数的分布定理的证明及证明方法；

(3)分布函数法；

(4)求连续型随机变量函数分布的举例；

(5)由随机变量函数的分布方法，得出的两个重要结论。

教学内容

一维随机变量函数的分布的定义及求法。

教学目的

1.理解随机变量的函数仍为随机变量，其分布函数（或密度）由原随机变量的分布各函数关系决定，掌握离散型随机变量函数的分布的计算；

2.了解求连续型随机变量函数分布的一般方法。

教学过程

举例说明随机变量函数的定义，重点说明随机变量函数的意义和决定随机变量函数分布的因素有哪些，通过例题介绍随机变量函数的分布的求法，离散型随机变量讲解书中例1。连续型随机变量函数的分布要注意强调用分布函数的定义的方法, 例子以线性函数为主,可对线性函数密度函数之间的关系进行总结.

1.举例说明随机变量函数的定义

定义：X是一个随机变量，g(x)为连续实函数，则Y=g(X)称为一维随机变量的函数，显然Y也是一个随机变量.

2.随机变量函数的分布的求法

离散型随机变量函数分布的求法

首先将X 的取值代入函数关系式，求出随机变量Y相应的取值y_i=g(x_i),(i=1,2,…)

如果y_i(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为

如果y_i(i=1,2,…)中出现相同的函数值，如y_i=g(x_i)=g(xk)(i≠k)，则在Y的分布列中，Y取y_i的概率为p{Y=y_i}=p{X=x_i}+p{X=x_k}=p_i+p_k

例1：设随机变量X的概率分布为

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布.

解：由函数Y=2X+1和X可能的取值，得Y相应的取值为-3,-1,1,3,5,7，又由Y=2X+1中Y与X是一一对应关系可得Y的分布如下：

Z可能取的值为0，1，4，9，相应的概率值为

同理P{Z=4}=0.25

P{Z=9}=0.15

即Z的概率分布为

补充例题

测一圆盘的半径X,其概率分布为

求圆的周长和面积的分布。(可让学生先做然后讲解);

3.连续型随机变量函数分布的求法

（1）先求Y=g(X)的分布函数

（2）利用Y=g(X)的分布函数与密度函数之间的关系求Y=g(X)的密度函数。

定理   设随机变量X具有概率密度f_X(x)(-∞<x<+∞)，则Y=g(x)严格单调，其概率密度为

 ，

其中α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}，h(y)是g(x)的反函数．

例2：设X的分布密度为f(x)，求随机变量Y=aX+b（a，b均为常数，且a≠0）的概率密度.

解：用F_Y(y)来表示随机变量Y的分布函数，由分布函数的定义

当a>0时,

当a<0时，

则Y的分布密度为

单项选择题

1.当X服从（ ）分布时，EX = DX.
A 指数
B 泊松
C 正态
D 均匀

2.设X～N(0,1)，又常数c满足P(X≥c) = P(X＜c)，则c等于（ ）
A 1
B 0
C 1/2
D -1

填空题

1.若随机变量X～U(0，1)且Y = -2lnX，则Y的密度函数 。

2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=  。

问答题

1.设随机变量X～U(0,1),试求1-X的分布。

球体积有多大呢

小明是一名刚毕业的大学生，求职面试时，老板问了他一个专业问题，对球的直径作近似测量，设它的取值服从区间[a,b]内的均匀分布，求球体积的密度函数。你能答上么？

提示：随机变量函数的分布问题。