教学内容：

二维随机变量的边缘分布、二维随机变量的独立性。

教学目的：

（1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；

（2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；

（3）理解离散型和连续型随机变量独立性的意义，掌握离散型和连续型随机变量独立性的方法。

教学过程：

一、边际分布函数

1.边缘分布的意义

二维随机变量(X,Y)作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连续型，都可以用分布函数F(x,y)来刻画.而分量X和Y也都是随机变量，也有其各自的概率分布. 记X和Y的分布函数为F_x(x)和F_y(y)，分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边际分布函数。

2.边际分布的分布函数

边际分布函数可以由(X,Y)的联合分布函数F(x,y)来确定：

同理

二.边际分布列

1.离散型随机变量的边际分布列的表示方法：

定义：对于二维离散型随机变量(X,Y),设其概率分布为

则X的边际分布为： 

2.离散型随机变量的边际分布列的计算：

例1：根据上节例1(X,Y)的联合分布列，求其边际分布.

三．边际分布密度

1.二维连续型随机变量的边际分布定义：

设(X,Y)为连续型随机变量，它的概率密度函数为f(x,y),则X的边际分布函数为

其密度函数为

同理，Y的边际分布函数为

其密度函数为

通常分别称F_x(x)和F_y(y)为二维随机变量（X,Y）关于X和Y的边际密度函数。

2.二维连续型随机变量的边际分布计算：

例2：设随机变量（X,Y）的密度函数为f(x, y) ：当0≤x≤y≤1时，f(x, y)=8xy；其它，f(x, y)=0。

试求X和Y的边际密度。

四．随机变量间的独立性

1.随机变量独立性的定义：

定义：设X,Y是两个随机变量，如果对于任意的实数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即

{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}·p{Y≤y}，也就是F(X,Y)=F_x(x)·F_y(y)，则称随机变量X与Y是相互独立的.

2.连续型随机变量独立的等价性定理：

定理：如果二维随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y),边际概率密度分别为f_x(x)和f_y(y)，则随机变量X与Y相互独立的充要条件是，对一切x,y均有f(x,y)=f_x(x)·f_y(y)

3.离散型随机变量独立性的判别方法。

4.连续型随机变量独立性的判别方法。

举例说明边缘分布不能决定联合分布：

例3：上个知识点的例1中，将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X与Y的联合概率分布，边缘分布。

单项选择题

1.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为P(X=0,Y=0)=0.4, P(X=0,Y=1)=a, P(X=1,Y=0)=b, P(X=1,Y=1)=0.1,已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则下列式子中正确的是（ ）
A a=0.2, b=0.3
B a=0.4, b=0.1
C a=0.3, b=0.2
D a=0.1, b=0.4

2.若随机变量X与Y相互独立,且D(X)=D(Y)=1,则D(4X-2Y)=（ ）
A 20
B 12
C 6
D 2

填空题

1.若随机变量X与Y相互独立,且X～U(-1,1),Y～e(4),则E(X+Y)=  。

2.设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为f (x,y) = 4xy，0≤x≤1，0≤y≤1，则P(X<Y)=  。

问答题

1.设随机变量（X,Y)的联合密度函数p(x,y)=1,|x|<y,0<y<1,试求X的边缘密度函数。

吸烟和肺癌有关吗？

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