教学内容

随机变量的定义，随机变量的分布函数的定义及性质。

教学目的

（1）深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果；

（2）深刻理解随机变量分布函数的定义、掌握分布函数的性质；

（3）理解一维离散型、连续型随机变量的意义，熟练掌握一维随机变量的表示，掌握离散型随机变量分布函数的计算，掌握连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，熟练掌握分布密度函数性质的应用。

教学过程

1.举例给出随机变量的定义，举出连续型和离散型的例子，举出试验结果为数量型和非数量型的情况的随机变量的表示并加以总结给出定义，强调随机变量的取值与随机试验的结果之间的对应关系；说明引进随机变量的意义和目的。

(1)举例说明随机变量的定义：

例：掷一颗骰子得到的点数，分别用1、2、3、4、5、6来表示；

随机变量：一个变量X的取值取决于随机试验E（现象）的基本结果ω，则该变量X(ω)称为随机变量。 随机变量常用大写字母X、Y、Z等表示，其取值用小写字母x、y、z等表示。

(2)引进随机变量的意义和目的：

意义：随机变量是由随机试验的结果所决定的变量；“随机”性表现在，随机变量取什么值，在试验前无法确知，要随机会而定.

目的：引入随机变量的概念后，随机事件就可以用随机变量的数量形式来表示，从而把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，这是运用各种数学工具研究随机现象的基础。

2.(1)随机变量的分布函数定义：

定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令

F(x)=p{X≤x}

称F(x)为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.。

(2)分布函数性质：

1）对于任意实数x，0≤F(x)≤1；

2）；

3）F(x)是单调非减函数，即对于任意x₁<x₂，有F(x₁)≤F(x₂ )

4）F(x)右连续，即F(x)= F(x+0)

(3)举例说明分布函数性质：

例如：函数只有当 时可以成为某一随机变量的分布函数。

3.(1)离散型随机变量的分布列定义及表示：

定义：设X为离散型随机变量，其可能取值为x₁,x₂…,x_n,…，且

p{X=x_i}=p(x_i)=px_i(i=1,2,…)

称上式为随机变量X的概率分布或分布列。

(2)分布列的性质：

1）(i=1,2,…)； 2）.

(3)离散型随机变量的分布函数：

(4)离散型随机变量的分布函数计算：

例1：有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以x表示取到次品的件数，求X的分布列及分布函数。

解：随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{X=k}(k=0,1,2,3)的概率，得X的概率分布为

当x<0时，F(x)=p{X≤x}=0；

当0≤x<1时，；

当1≤x<2时，=0.9635；

类似地可求得：

当2≤x<3时，F(x)=p{X=0}+p{X=1}+p{X=2}=0.9989；

当x≥3时，F(x)=1.

故     

4.对比离散型随机变量的取值情况举例给出连续型随机变量的定义

定义：如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在函数f(x)≥0 (﹣∞＜x＜+∞)，使得对于任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度函数（简称密度函数）。

(1)密度函数的定义：

连续型随机变量分布函数中的f(x)称为X的概率密度函数。

(2)密度函数的意义和性质：

1）非负性：f(x)≥0(-∞＜x＜+∞)；

2）；

3）对于任意实数a和b(a<b)，有

 ；

4）在f(x)的连续点处，有

(3)密度函数的计算

单项选择题

1.设随机变量X的密度为Ψ(x)=4x·x·x，0<x<1;Ψ(x)=0,其他。P{0.5<X<1}=（ ）
A 1/2
B 1/5
C 5/16
D 3/8

2.已知随机变量X的密度函数为：Ψ(x)=Aexp(x),x＜0;Ψ(x)=1/4,0≤x＜2; 
Ψ(x)=0,x≥2, 则常数A=（ ）
A 1/2
B 1/3
C 1/4
D 1/5

填空题

1.P(X≥x₁）=1-α,P(X≤x₂)=1-β,其中x₁<x₂，P(x₁≤X≤x₂)= 。

2.从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列，x₁<x₂<x₃，令X=x₂,P(X<2)= 。

问答题

1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=ax+2,0≤x＜1;f(x)=0,其他。E(X)=1/3，求a。
 

小王会迟到么？

小王早上上班起来晚了，开车去公司的路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，若他遇到三个以上信号灯的话就会迟到，小王有多大的机率不迟到呢？

提示：可利用离散型随机变量的分布概率决该问题。