概率的性质

性质1：p(Ф)=0；

性质2：（有限可加性）设有限个事件A₁,A₂,…,A_n两两相斥，则 

性质3：对任何事件A，有.

性质4：设A、B为两个事件，且，则p(A-B)=p(A)-p(B).

性质5：（加法定理）设A、B为任意两个事件，则

p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB).

n个n≥3事件的概率加法公式：

教学内容 

概率的性质。

教学目的 
掌握概率的性质在概率计算中的应用。

教学过程和要求 
重点讲解概率的性质及应用。性质1和性质2比较显然，直接给出，可不证，性质3（说明对立事件的应用）、性质4和性质5给出证明，并举出应用的例子。性质5（加法定理）给出三个事件的情形（可根据图形让学生自己总结）进而推广到n个事件的情形。 
概率的性质及证明 
性质1：p(Ф)=0； 
性质2：（有限可加性）设有限个事件A₁,A₂,…A_n两两相斥，则 
 
性质3：对任何事件A，有
证明：由且，由性质2有
即：. 
性质4：设A、B为两个事件，且，则p(A-B) =p(A)-p(B). 
证明：因为，所以A=B∪(A-B)且(A-B)B=Ф， 
由可加性得:p(A)=p[B+(A-B)]=p(B)p(A-B) 
即p(A-B)=p(A)-p(B)
一般情况下，对任意事件A,B，有p(A-B)=p(A-AB)=p(A)-p(AB)
性质5：（加法定理）设A、B为任意两个事件，则 
p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB).
证明：A∪B=A∪(B-AB)，且A(B-AB)=Ф， 
由性质2、4得： 
p(A∪B)=p[(A+(B-AB)]=p(A)+p(B)-p(AB).
n个事件的概率加法公式： 

利用例5说明概率性质的应用，可补充例题。 
例：设p(A)=1/3，p(B)=1/2，分别在下列条件下求： 
（1）；（2）A与B互斥；（3）p(AB)=1/8. 
解：

（1），则p(AB)=p(A)，因此

 ;

（2）若A、B互斥，则 p(AB)=0，因此

;

（3）p(AB)=1/8，因此 

补充例题：

例题：某企业与甲、乙两公司签订某商品的长期供货合同，从以往情况看．甲公司按时供货的概率为0.9，乙公司按时供货的概率为0.75，这两公司都按时供货的概率为0.7，求至少有一家公司按时供货的概率。