【知识框架】

【知识点提示】

（ 1 ）变量间关系的度量 ，包括相关系数的计算公式、性质 ，相关关系的 显著性检验（简答题、计算题知识点） ；

（ 2 ）一元线性回归 ，包括回归模型的假定（简答题知识点） ，回归方程、 估计的回归方程的建立（选择题、计算题知识点） ；

（ 3 ）最小二乘法的含义、性质 ，回归系数的计算（选择题、简答题、计 算题知识点） ；

（ 4 ）回归直线的拟合优度及显著性检验（计算题知识点） ；

（ 5 ）点估计和区间估计 ，包括置信区间和预测区间（判断题、计算题考 点）。

【核心知识点】

知识点一 ：变量间关系的度量

1   相关系数（线性相关系数 ，或Pearson相关系数）

总体相关系数ρ , 样本相关系数r。

（ 1 ）计算公式

（ 2 ）性质

① r的取值范围为－1≤r≤1。 |r|→ 1说明两个变量之间的线性关系越强。

② r具有对称性 ，即rxy＝ryx。

③ r取值大小与x和y的原点及尺度无关。

④ r仅用于度量线性关系 ，不能用于描述非线性关系

⑤ r只是度量数量关系 ，但不意味着因果关系。

⑥ r取值可以解释两个变量之间的相关程度。但需要先对相关系数的显

著性进行检验。

2   相关关系的显著性检验——t检验（小样本或大样本）

检验的统计量

若|t|＞tα/2 ，则拒绝原假设H0 ，表明总体的两个变量之间存在显著的线性关系。

知识点二：一元线性回归

1   一元线性回归模型

（ 1 ）回归模型假定

① E ( ε )  = 0 ；

② D ( ε )  = σ2 ；

③   ;

④ 自变量x与因变量y之间具有线性关系；

⑤ 在重复抽样中 ，自变量x的取值是固定的 ，即假定x是非随机的。

根据以上假定 ，E（ y ）的值随着x发生变化 ，但ε和y的概率分布都是正 态分布 ，并且具有相同的方差。

（ 2 ）回归方程

E（ y ）= β0 + β 1x

① β0是直线的截距 ，表示当解释变量为零时y的平均值；

② β1是直线的斜率 ，称为回归系数 ，表示解释变量x每变化1个单位 ，被 解释变量y将相应地平均变化β 1个单位。

（ 3 ）估计的回归方程

∧    ∧    ∧

y = β0 + β 1x

            ∧                                                                                                                                                                                                                                         ∧

式中 ，β0是估计的回归直线在y轴上的截距； β 1是直线的斜率 ，表示x每 变动一个单位时 ，y的平均变动值。

2   参数的最小二乘估计

（ 1 ）最小二乘法（最小平方法）

使残差平方和∑（ yi－yi）2 = ∑（ yi = β0  - β 1xi）2达到最小。

（ 2 ）最小二乘法拟合直线的优良性质

① 根据最小二乘法得到的回归直线能使离差平方和达到最小；

② 由最小二乘法求得的回归直线可知β0和β1的估计量的抽样分布；

③ 在某些条件下β0和β1的最小二乘估计量同其他估计量相比 ，其抽样分 布具有较小的标准差。

∧                       ∧

（ 3 ）回归系数β0、 β 1

根据最小二乘法得 ：

【注意】回归直线过点（ x(＿) ，y(＿) ），这是回归直线的重要特征之一。

3   回归直线的拟合优度

表11- 1  回归方程的拟合程度分析

4   显著性检验

表11-2    回归分析的显著性检验

知识点三：利用回归方程进行预测

表11-3    利用回归方程进行预测