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2 二、练习题
一、思考题
1．简述列联表的构造与列联表的分布。 答：列联表是将两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表。 列联表的分布可以从两个方面看，一个是观察值的分布，又称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数；
一个是期望值的分布。
2．用一张报纸、一份杂志或你周围的例子构造一个列联表，说明这个调查中两个分类变量的关系，并提出 进行检验的问题。
答：对三个生产厂甲、乙、丙提供的学习机的 A、B、C 三种性能进行质量检验，欲了解生产厂家同学习机
性能的质量差异是否有关系。抽查了 450 部学习机次品，整理成为如表 9-1 所示的 3×3 列联表。 表 9-1
次品类型 生产厂 |
A |
B |
C |
总计 |
甲 乙 丙 | 20 40 15 | 45 90 65 | 35 70 70 | 100 200 150 |
总计 | 75 | 200 | 175 | 450 |
根据抽查检验的数据表明：次品类型与厂家（即哪一个厂）生产是无关的（即是相互独立的）。
建立假设：H0：次品类型与厂家生产是独立的；H1：次品类型与厂家生产不是独立的。 可以计算各组的期望值，如表 9-2 所示（表中括号内的数值为期望值）。
表 9-2各组的期望值计算表
次品类型 生产厂 |
A |
B |
C |
总计 |
甲 乙 丙 | 20（17） 40（33） 15（25） | 45（44） 90（89） 65（67） | 35（39） 70（78） 70（58） | 100 200 150 |
总计 | 75 | 200 | 175 | 450 |
所以 χ2＝（20－17）2/17＋（40－33）2/33＋„＋（70－58）2/58＝9.821。
而自由度等于（R－1）（C－1）＝（3－1）×（3－1）＝4，若以 0.01 的显著性水平进行检验，查 χ2 分布表 得 χ0.01 2（4）＝13.277。由于 χ2＝9.821＜χ20.01（4）＝13.277，故接受原假设 H0，即次品类型与厂家生产是独立 的。
3．说明计算 χ2 统计量的步骤。 答：计算 χ2 统计量的步骤：
（1）用观察值 fo 减去期望值 fe；
（2）将（fo－fe）之差平方；
2
（3）将平方结果（fo－fe）
除以 fe；
（4）将步骤（3）的结果加总，即得：
4．简述 φ 系数、c 系数、V 系数的各自特点。
答：（1）φ 相关系数是描述 2×2 列联表数据相关程度最常用的一种相关系数。它的计算公式为：
式中，
n 为列联表中的总频数，也即样本量。说 φ 系数适合 2×2 列联表，是因为对于 2×2 列联表中的数据，计算 出的 φ 系数可以控制在 0～1 这个范围。
（2）列联相关系数又称列联系数，简称 c 系数，主要用于大于 2×2 列联表的情况。c 系数的计算公式为：
当列联表中的两个变量相互独立时，系数 c＝0，但它不可能大于 1。c 系数的特点是，其可能的最大值依赖
于列联表的行数和列数，且随着 R 和 C 的增大而增大。
（3）格莱姆（Gramer）提出了 V 系数。V 系数的计算公式为：
当两个变量相互独立时，V＝0；当两个变量完全相关时，V＝1。所以 V 的取值在 0～1 之间。如果列联表
中有一维为 2，即 min[（R－1），（C－1）]＝1，则 V 值就等于 φ 值。
5．构造下列维数的列联表，并给出 χ2 检验的自由度。
a．2 行 5 列 b．4 行 6 列 c．3 行 4 列
答：i 行 j 列联表，如表 9-3 所示。
表 9-3
项目 | 单位 1 | 单位 2 | „ | 单位 j |
态度 1 | x11 | x12 | „ | x1j |
态度 2 | x21 | x22 | „ | x2j |
„ | „ | „ | „ | „ |
态度 i | xi1 | xi2 | „ | xij |
而 χ2 检验的自由度＝（行数－1）（列数－1），所以
a．当 i＝2，j＝5 时，表 9-3 即为 2 行 5 列的列联表，其 χ2 检验的自由度＝（2－1）×（5－1）＝4； b．当 i＝4，j＝6 时，表 9-3 即为 4 行 6 列的列联表，其 χ2 检验的自由度＝（4－1）×（6－1）＝15； c．当 i＝3，j＝4 时，表 9-3 即为 3 行 4 列的列联表，其 χ2 检验的自由度＝（3－1）×（4－1）＝6。
