一、思考题

1．解释估计量和估计值。

       ∧

答：在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量，用符号θ表示。样本均值、样本比例、样本方

差等都可以是一个估计量。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2．简述评价估计量好坏的标准。 答：评价估计量好坏的标准主要有以下三个：

（1）无偏

                                              ∧           ∧       ∧

无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。设总体参数为 θ，所选择的估计量为θ，如果 E（θ）＝θ，则称θ为 θ 的无偏估计量。

（2）有效性 一个无偏的估计量并不意味着它就非常接近被估计的参数，它还必须与总体参数的离散程度比较小。有效性

是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。

（3）一致性 一致性是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。换言之，一个大样本给出的估计

量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。

3．怎样理解置信区间？ 答：在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间，其中区间的最小值称为置信

下限，最大值称为置信上限。由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为 置信区间。原因是，如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取 100 个样本，根据每个样本构造一个置信区间，这 样，由 100 个样本构造的总体参数的 100 个置信区间中，有 95%的区间包含总体参数的真值，有 5%没包含。

对置信区间的理解，有以下几点需要注意：

（1）如果用某种方法构造的所有区间中有 95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真 值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为 95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方 式进行表述。

（2）总体参数的真值是固定的、未知的，而用样本构造的区间则是不固定的。若抽取不同的样本，那么可

以得到不同的区间，从这个意义上说，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同，而且不是所有的区 间都包含总体参数的真值。一个置信区间就像是为捕获未知参数而撒出去的网，不是所有撒网的地点都能捕获到

参数。

（3）在实际问题中，进行估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平（比 如 95%）下的置信区间。由于用该样本所构造的区间是一个特定的区间，而不再是随机区间，所以无法知道这个 样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个， 但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。

置信区间是一个随机区间，1－α 的置信区间意味着，随着样本观察值的不同置信区间也不同，但 100 次运 用这个区间，约有 100（1－α）个区间能包含参数，也就是说，大约有 100α 个区间不能包含参数。

4．解释 95%的置信区间。

答：95%的置信区间的含义为抽取 100 个样本，根据每一个样本构造一个置信区间，这样，由 100 个样本构 造的总体参数的 100 个置信区间中，95%的区间包含了总体参数的真值，而 5%则没有包含。

6．解释独立样本和匹配样本的含义。

答：如果两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立，则称 为独立样本。

匹配样本是指一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。

7．在对两个总体均值之差的小样本估计中，对两个总体和样本都有哪些假定？ 答：在对两个总体均值之差的小样本估计中，对两个总体和样本需要作出以下假定：

（1）两个总体都服从正态分布。

（2）两个随机样本独立地分别抽自两个总体。

8．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 答：（1）样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需的样本量也就越大。

（2）样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大。

（3）样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量就越小。

二、练习题

1．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

＿

（1）总体服从正态分布，且已知 σ＝500，n＝15，x＝8900，置信水平为 95%。

＿

（2）总体不服从正态分布，且已知 σ＝500，n＝35，x＝8900，置信水平为 95%。

＿

（3）总体不服从正态分布，σ 未知，n＝35，x＝8900，s＝500，置信水平为 90%。

＿

（4）总体不服从正态分布，σ 未知，n＝35，x＝8900，s＝500，置信水平为 99%。

＿

解：（1）由于总体服从正态分布，σ＝500，n＝15，x＝8900，α＝0.05，z0.05/2 ＝1.96。所以总体均值 μ 的 95%

的置信区间为：

即（8646.97，9153.03）。

（2）已知总体不服从正态分布，但 n＝35 为大样本，因此采用 z 统计量，总体均值 μ 的 95%的置信区间为：

即（8734.35，9065.65）。

（3）已知总体不服从正态分布，σ 未知，但由于 n＝35 为大样本，因此可以采用 z 统计量，总体均值 μ 的

90%的置信区间为：

即（8760.97，9039.03）。

（4）已知总体不服从正态分布，σ 未知，但由于 n＝35 为大样本，因此可以采用 z 统计量，总体均值 μ 的

99%的置信区间为：

即（8681.95，9118.05）。

2．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500 名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们 每天上网的时间，得到表 7-2 的数据（单位：小时）。

表 7-2 某大学 36 名学生每天上网的时间

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90%，95%和 99%。

解：已知：n＝36，当 α 为 0.1，0.05，0.01 时，相应的 z 值分别为：z0.1/2＝1.645，z0.05/2 ＝1.96，z0.01/2 ＝2.58

根据样本数据计算得：

由于 n＝36 为大样本，所以平均上网时间的 90%的置信区间为：

即（2.88，3.76）。

平均上网时间的 95%的置信区间为：

即（2.79，3.85）。

平均上网时间的 99%的置信区间为：

即（2.63，4.01）。

3．某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 100g，现从某天生产的一批产品中按重复

抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量如表 7-3 所示。

表 7-3 某企业生产的袋装食品每包重量数据

每包重量（g） 包数

96～98 2

98～100 3

100～102 34

102～104 7

104～106 4

合计 50

已知食品包重量从正态分布，要求：

（1）确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。

（2）如果规定食品重量低于 100g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95%的置信区间。 

解：（1）已知：总体服从正态分布，但 σ 未知，n＝50 为大样本，α＝0.05，z0.05/2 ＝1.96。根据分组的样本数

据计算得：

该种食品平均重量的 95%的置信区间为：

即（100.87，101.77）。

（2）根据样本数据可知，样本合格率为 p＝45/50＝0.9。该种食品合格率的 95%的置信区间为：

即（0.82，0.98）。

4．假设总体服从正态分布，利用表 7-4 的数据构建总体均值 μ 的 99%的置信区间。 表 7-4

16.4 17.1 17.0 15.6 16.2

14.8 16.0 15.6 17.3 17.4

15.6 15.7 17.2 16.6 16.0

15.3 15.4 16.0 15.8 17.2

14.6 15.5 14.9 17.7 16.3

解：已知：总体服从正态分布，但 σ 未知，n＝25 为小样本，α＝0.01，t0.01/2 （25－1）＝2.797。根据样本数

＿

据计算得：x＝16.128，s＝0.871。

总体均值 μ 的 99%的置信区间为：

5．利用下面的样本数据构建总体比例 π 的置信区间。

（1）n＝44，p＝0.51，置信水平为 99%。

（2）n＝300，p＝0.82，置信水平为 95%。

（3）n＝1150，p＝0.48，置信水平为 90%。 解：（1）已知：n＝44，p＝0.51，α＝0.01，z0.01/2 ＝2.58。总体比例 π 的 99%的置信区间为：

p ± za /2 

即（0.32，0.70）。

p(1 - p)

n

= 0.51 ± 2.58 

0.51´ (1 - 0.51)

44

= 0.51 ± 0.19

（2）已知：n＝300，p＝0.82，α＝0.05，z0.05/2 ＝1.96。总体比例 π 的 95%的置信区间为：

p ± za /2 

即（0.78，0.86）。

p(1 - p)

n

= 0.82 ± 1.96 

0.82 ´ (1 - 0.82)

300

= 0.82 ± 0.04

（3）已知：n＝1150，p＝0.48，α＝0.1，z0.1/2 ＝1.645。总体比例 π 的 90%的置信区间为：

p ± za /2 

即（0.46，0.50）。

p(1 - p)

n

= 0.48 ± 1.645 

0.48 ´ (1 - 0.48)

1150

= 0.48 ± 0.02

6．在一项家电市场调查中，随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该 品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。

解：已知：n＝200，p＝0.23，α 为 0.1 和 0.05 时，相应的 z0.1/2 ＝1.645，z0.05/2 ＝1.96。总体比例 π 的 90%的 置信区间为：

p ± za / 2 

即（0.18，0.28）。

p(1 - p)

n

= 0.23 ± 1.645 

= 0.23 ± 0.05

0.23 (1 - 0.23)

200

总体比例 π 的 95%的置信区间为：

p ± za /2 

p(1 - p)

n

= 0.23 ± 1.96

= 0.23 ± 0.06

0.23(1 - 0.23)

200

即（0.17，0.29）。

7．一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为

1000 元，要求的估计误差在 200 元以内。置信水平为 99%，应选取多大的样本？ 解：已知：σ＝1000，估计误差 E＝200，α＝0.01，z0.01/2 ＝2.58。所以应抽取的样本量为：

所以应抽取 167 个样本。

8．某居民小区共有居民 500 户，小区管理者准备采用一种新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复 抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。

（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间（α＝0.05）。

（2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%，估计误差不超过 10%。应抽取多少户进行调查（α＝0.05）？ 解：（1）已知：n＝50，p＝32/50＝0.64，α＝0.05，z0.05/2 ＝1.96。总体中赞成该项改革的户数比例的 95%的

置信区间为：

p ± za /2 

即（0.51，0.77）。

p(1 - p)

n

= 0.64 ± 1.96 

= 0.64 ± 0.13

0.64 (1 - 0.64)

50

（2）已知：π＝0.80，α＝0.05，z0.05/2 ＝1.96。应抽取的样本量为：

9．根据下面的样本结果，计算总体标准差 σ 的 90%的置信区间。

＿

（1）x＝21，s＝2，n＝50。

＿

（2）x＝1.3，s＝0.02，n＝15。

＿

（3）x＝167，s＝31，n＝22。

＿

解：（1）已知：＝21，s＝2，n＝50，α＝0.1，查表得：χ20.1/2（50－1）＝66.3387，χ21

总体方差 σ2 的置信区间为：

－0.1/2（50－1）＝33.9303。

即 2.95≤σ2≤5.78。标准差的置信区间为：1.72≤σ≤2.40。

＿

（2）已知：x＝1.3，s＝0.02，n＝15，α＝0.1，查表得：χ20.1/2（15－1）＝23.6848，χ21

总体方差 σ2 的置信区间为：

标准差的置信区间为：0.015≤σ≤0.029。

（3）已知：x＝167，s＝31，n＝22，α＝0.1，查表得：χ20.1/2（22－1）＝32.6706，χ2（22－1）＝11.5913。

总体方差 σ2 的置信区间为：

2 2 2 2

标准差的置信区间为：24.85≤σ≤41.73。

10．顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关。比如，银行业务员 办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是： 所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式 使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：分钟），如表 7-5 所示。

表 7-5 顾客到银行办理业务等待时间

方式 1 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7

方式 2 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9.3 10.0

要求：

（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。

（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。

（3）根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？ 

解：（1）已知：n＝10，α＝0.05，查表得 χ0.05/2 2（10－1）＝19.0228，χ1

1 的样本数据计算得：s2＝0.2272。总体方差 σ2 的置信区间为：

2（10－1）＝2.7004。根据方式

标准差的置信区间为：0.33≤σ≤0.87。

（2）根据方式 2 的样本数据计算得：s2＝3.3183。总体方差 σ2 的置信区间为：

2 2

标准差的置信区间为：1.25≤σ≤3.33。

（3）第一种排队方式更好，因为它的离散程度小于第二种排队方式。

11．从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如表 7-6 所示。

（1）设 n1＝n2＝100，求（μ1－μ2）95%的置信区间。

（2）设 n1＝n2＝10，σ12＝σ22，求（μ1－μ2）95%的置信区间。

（3）设 n1＝n2＝10，σ12≠σ22，求（μ1－μ2）95%的置信区间。

（4）设 n1＝10，n2＝20，σ1  ＝σ2  ，求（μ1－μ2）95%的置信区间。

（5）设 n1＝10，n2＝20，σ12≠σ22，求（μ1－μ2）95%的置信区间。

解：（1）由于两个样本均为独立大样本，σ1和 σ2未知。当 α＝0.05 时，z0.05/2＝1.96，则 μ1－μ2 的 95%的置信区间为：

即（0.824，3.176）

（2）由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，当 σ12 和 σ22 未知但 σ1  ＝σ2   时，需要用两个样本的方

差 s12 和 s22 和来估计。总体方差的合并估计量 sp2 为：

当 α＝0.05 时，t0.05/2（10＋10－2）＝2.101，则 μ1－μ2 的 95%的置信区间为：

即（－1.986，5.986）。

（3）由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，σ12 和 σ22 未知且 σ12≠σ2  ，n1＝n2＝n。当 α＝0.05 时，

t0.05/2（10＋10－2）＝2.101，则 μ1－μ2 的 95%的置信区间为：

2 2

即（－1.986，5.986）。

（4）由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，σ12 和 σ22 未知但 σ12＝σ22，n1≠n2。需要用两个样本的 方差 s12 和 s22 来估计。总体方差的合并估计量 sp2 为：

当 α＝0.05 时，t0.05/2（10＋20－2）＝2.048。因此，μ1－μ2 的 95%的置信区间为：

即（－1.431，5.431）。

（5）由于两个样本均为来自正态总体的独立小样本，σ12 和 σ22 未知且 σ12≠σ22，n1≠n2。因此，μ1－μ2 的 95%

的置信区间为：

自由度的计算如下：

当 α＝0.05 时，t0.05/2（20）＝2.086。μ1－μ2 的 95%的置信区间为：

即（—1.364，5.364）。

2 

12．表 7-7 是由 4 对观察值组成的随机样本。

表 7-7

配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本

1

2

3

4 2

5

10

8 0

7

6

5

＿

（1）计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和 sd。

（2）设 μ1 和 μ2 分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造 μd＝μ1－μ2 的 95%的置信区间。 解：（1）计算过程如表 7-8 所示。

13．一家人才测评机构对随机抽取的 10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试 分数如表 7-9 所示。

表 7-9 10 名小企业的经理人自信心测试分数数据

人员编号 方法 1 方法 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 78

63

72

89

91

49

68

76

85

55 71

44

61

84

74

51

55

60

77

39

要求：构建两种方法平均自信心得分之差 μd＝μ1－μ2 的 95%的置信区间。

＿

解：根据样本数据计算得：d＝[（78－71）＋（63－44）＋„＋（55－39）]/10＝110/10＝11

14．从两个总体中各抽取一个 n1＝n2＝250 的独立随机样本，来自总体 1 的样本比例为 p1＝40%，来自总体

2 的样本比例为 p2＝30%。要求：

（1）构造 π1－π2 的 90%的置信区间。

（2）构造 π1－π2 的 95%的置信区间。 

15．生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以减小方差。表 7-10

是两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据。

表 7-10 两部机器生产的袋茶重量的数据

机器 1 机器 2

3.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.35

3.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.30

3.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.05

3.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.33

2.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.27

3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.28

3.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25

要求：构造两个总体方差比（σ12/σ22）95%的置信区间。 

解：根据样本数据计算得：s12＝0.058375，s22＝0.005846。当 α＝0.05 时，由 Exce1 的“FINV”函数计算得：

2 2

F0.025（21－1，21－1）＝2.46，F1－α/2（n1－1，n2－1）＝F0.975（21－1，21－1）＝0.41。两个总体方差比 σ1  /σ2

的 95%的置信区间为：

2

即两个总体方差比 σ12/σ22 的 95%的置信区间为：4.06≤σ12/σ2  ≤24.35。

16．根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2%。如果置信区间为 95%，估计误差不超过 4%，应抽取 多少样本？

解：已知：π＝2%，E＝4%，当 α＝0.05 时，z0.05/2＝1.96。应抽取的样本量为：

故应至少抽取样本量为 48 的样本。