二、练习题
1．已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布 N（4.55，0.1082），现在测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4.48 4 。 如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为 4.55（α＝0.05）？
解：建立假设：
H0：μ＝4.55；H1：μ≠4.55
这是双侧检验，并且方差已知，检验的统计量 Z 值为：
z =
4.484 - 4.55
0.108 / 9
= -1.833
而 z0.025 ＝1.96＞|－1.833|，因此不能拒绝原假设，即可认为现在生产的铁水平均含碳量为 4.55。
2．有一种元件，要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36 件，测得其平均寿命 为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布，σ＝60 小时，试在显著性水平 0.05 下确定这批元件是否合格。
解：建立假设： H0：μ≥700；H1：μ＜700 这是左侧检验，并且方差已知，检验统计量 Z 为：
Z = 680 - 700 = -2
60 / 36
而－z0.05＝－1.645＞－2，因此拒绝原假设，即在显著性水平 0.05 下这批元件是不合格的。
3．某地区小麦的一般生产水平为亩产 250 千克，其标准差为 30 千克。现用一种化肥进行试验，从 25 个地 块抽样，平均产量为 270 千克。这种化肥是否使小麦明显增产（α＝0.05）？
解：建立假设： H0：μ≤250；H1：μ＞250 这是右侧检验，并且方差已知，检验的统计量 Z 值为：
Z =
270 - 250
30 / 25
= 3.33
而 z0.05 ＝1.645＜3.33，因此拒绝原假设，即这种化肥使小麦明显增产。
4．糖厂用自动打包机打包，每包的标准重量是 100 千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。 某日开工后测得 9 包重量（单位：千克）如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5，已 知每包的重量服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（α＝0.05）？
解：建立假设：
H0：μ＝100；H1：μ≠100
由样本数据可得：
而 t0.025 （8）＝2.306＞|－0.054|，因此不拒绝原假设，即该日打包机工作正常。
5．某种大量生产的袋装食品按规定不得少于 250 克。今从一批该食品中任意抽取 50 袋，发现有 6 袋低于
250 克。若规定不符合标准的比例超过 5%%就不得出厂，问该批食品能否出厂（α＝0.05）？ 解：建立假设：
H0：π≤5%%；H1：π＞5%%
p＝6/50＝12%%，
这是单侧检验，当 α＝0.05 时，有 z0.05＝1.645＜2.27，因此拒绝原假设，即该批食品不能出厂。
6．某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常条件下行驶距离超过目前的平均水平 25000 公里。对 一个由 15 个轮胎组成的随机样本做了试验，得到样本均值和标准差分别为 27000 公里和 5000 公里。假定轮胎寿 命服从正态分布，问该厂家的广告所声称的内容是否真实（α＝0.05）？
解：建立假设：
H0：μ≤25000；H1：μ＞25000
这是单侧检验，并且方差未知，又是小样本，故采用 t 统计量，检验统计量的值为：
t = 27000 - 25000 = 1.549
5000 / 15
而 t0.05 （14）＝1.761＞1.549，因此不能拒绝原假设，即该厂家的广告不真实。
7．某种电子元件的寿命 x（单位：小时）服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下：
159280101212224379179264
222362168250149260485170
问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时（α＝0.05）？ 解：建立假设：
H0：μ≤225；H1：μ＞225
由样本数据可得：
而 t0.05 （15）＝1.753＞0.669，因此不能拒绝原假设，没有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时。
8．随机抽取 9 个单位，测得结果分别为：85 5966813557556366，以 α＝0.05 的显著性水 平对下述假设进行检验：H0：σ2≤100；H1：σ2＞100。
解：由样本数据可得：
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9．A，B 两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且 σA2＝632，σB ＝57 。从 A 厂生产的材料中＿ ＿
随机抽取 81 个样品，测得xA＝1070kg/cm2；从 B 厂生产的材料中随机抽取64 个样品，测得xB＝1020kg/cm2。根据以上调查结果，能否认为A，B 两厂生产的材料平均抗压强度相同（α＝0.05）？
解：建立假设：
10．装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装 配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：
甲方法 | 31 | 34 | 29 | 32 | 35 | 38 | 34 | 30 | 29 | 32 | 31 | 26 |
乙方法 | 26 | 24 | 28 | 29 | 30 | 29 | 32 | 26 | 31 | 29 | 32 | 28 |
两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著差别（α＝0.05）？
解：建立假设：
H0：μA－μB＝0；H1：μA－μB≠0
由样本数据可得：
所以拒绝原假设，即这两种方法的装配时间有显著不同。
11．调查了 339 名 50 岁以上的人，其中 205 名吸烟者中有 43 个患慢性气管炎，在 134 名不吸烟者中有 13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点（α＝0.05）？
12．为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款的数额不能超过 60 万元。随着经济的发 展，贷款规模有增大的趋势。银行经理想了解在同样项目条件下，贷款的平均规模是否明显地超过 60 万元，故＿一个 n＝144 的随机样本被抽出，测得x＝68.1 万元，s＝45。在 α＝0.01 的显著性水平下采用 P 值进行检验。
解：建立假设： H0：μ≤60；H1：μ＞60
这是单侧检验，且为大样本，检验统计量 Z 为：
所以不能拒绝原假设，即贷款的平均规模没有明显地超过 60 万元。
13．有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验证，研究人员把自愿参与实验的
22000 人随机平均分成两组，一组人员每星期服用三次阿司匹林（样本 1），另一组人员在相同的时间服用安慰剂
（样本 2）。持续 3 年之后进行检测，样本 1 中有 104 人患心脏病，样本 2 中有 189 人患心脏病。以 α＝0.05 的显 著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。
解：建立假设：
H0：π1－π2≥0（服用阿司匹林不可以降低心脏病发生率） H1：π1－π2＜0（服用阿司匹林可以降低心脏病发生率） 这是单侧检验，检验的统计量 Z 为：
所以拒绝原假设，即服用阿司匹林可以降低心脏病发生率。
14．某工厂制造螺栓，规定螺栓口径为 7.0cm，方差为 0.03cm2。今从一批螺栓中抽取 80 个测量其口径，得 平均值为 6.97cm，方差为 0.0375cm2。假定螺栓口径服从正态分布，问这批螺栓是否达到规定的要求（α＝0.05）？
解：这批螺栓是否达到规定的要求，分别需要进行均值和方差两方面的检验。
建立假设：
H0：μ＝7.0；H1：μ≠7.0 这是双侧检验，并且方差已知，检验的统计量 Z 为：
所以不能拒绝原假设。
建立假设：
H0：σ2＝0.03；H1：σ2≠0.03
这是双侧检验，检验的统计量 χ2为：
由于 χ0.975 2（79）＝56.31＜98.75＜χ0.0252（79）＝105.5，所以不拒绝原假设。
综合（1）（2）可知，这批螺栓达到了规定的要求。
15．有人说在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。现从一个学校中随机抽取了25 名男生和16 名女 生，对他们进行了相同题目的测试。测试结果表明，男生的平均成绩为82 分，方差为 562，女生的平均成绩为78 分，方差为49 分 2。假设显著性水平α＝0.02，从上述数据中能得到什么结论？
解：要判断在大学中男生的学习成绩是否比女生的学习成绩好，分别需要进行均值和方差两方面的检验。
（1）建立假设： H0：σ12＝σ22；H1：σ12≠σ22 这是两总体的双侧检验，检验的统计量 F 为： F＝s12/s22＝56/49＝1.143
由于 F0.01（24，15）＝3.29，F0.99（24，15）＝0.346，则 F0.99（24，15）＜F＜F0.01（24，15）所以不能拒绝 原假设，说明两个总体方差无明显差异。
（2）建立假设：
H0：μA－μB＝0；H1：μA－μB≠0
这是两总体的双侧检验，检验的统计量 t 为：
所以不能拒绝原假设。
综合（1）（2）可知，并不能说明在大学中男生的学习成绩比女生的学习成绩好。
