【知识框架】

【知识点提示】

（ 1 ）集中趋势、离散趋势的度量指标 ，包括每个指标的含义、计算公 式、特点、意义、适用范围（选择题、简答题、计算题知识点） ；

（ 2 ）众数、 中位数和平均数三个指标的特点和应用场合 ，偏态分布下三个指标的关系（选择题、简答题、计算题知识点） ；

（ 3 ）分布形状的测度指标 ：偏态系数和峰态系数的数值含义（选择题、 简答题知识点）。

（ 4 ）标准分数的计算公式及应用（选择题、简答题、计算题知识点） ；

（ 5 ）经验法则、切比雪夫不等式的具体应用（选择题知识点）。

【核心知识点】

知识点一 ：集中趋势的度量

表4- 1    集中趋势度量指标

【注意】不同偏态程度的分布中集中趋势度量指标的关系 ：① 对称分布  中 ，众数、 中位数和平均数相等；② 左偏分布中 ，数据存在极小值 ，拉

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动平均数向极小值一方靠 ，而众数和中位数不受极值的影响 ，有x＜Me ＜Mo ；③ 右偏分布中 ，数据存在极大值 ，必然拉动平均数向极大值一

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方靠 ，因此Mo＜Me＜x。

【知识拓展】不同的教材分位数的计算公式不同 ，除了表中的计算公式 ，一种比较精确的计算公式 ：下四分位数QL的位置＝（ n＋1 ）/4 ，上四分位数QU的位置＝（ 3n＋1）/4。

知识点二：离散程度的度量数据的离散程度反映了各变量值远离其中心值的程度 ，离散程度越小 ，

代表性就越好。

表4-2    离散程度的度量指标

【注意】① 表中方差和标准差的计算公式均为样本数据的方差和标准 差。若为总体数据 ，则分母应为n。

② 标准差系数 ，也称变异系数或离散系数。

③ 表中平均差、样本方差、样本标准差仅给出了未分组数据的计算公   式 ，分组数据的计算公式实质是等于未分组数据的计算公式 ，会运用即

可。

知识点三：分布形状的测度偏态是对数据分布对称性的测度 ，峰态是对数据分布平峰或尖峰程度的

测度。

表4-3    偏态系数和峰态系数 

【注意】本部分主要是考查两个指标具体数值的含义 ，考查具体计算公式的时候相对较少。

知识点四：相对位置的度量

（ 1 ）标准分数（标准化值或z分数）

① 计算公式 ：zi＝（ xi－x(＿) ）/s。

② 特点 ：平均数为0、标准差为1；对数据进行了线性变换 ，不改变数据

在该组数据中的位置 ，也不改变该组数据分布的形状。

③ 用途 ：

a ．测定某一数据在该组数据中的相对位置 ，并可以用它来判断一组数

据是否有离群数据；

b ．处理多个具有不同量纲的变量时 ，标准分数可用于对各变量进行标 准化处理。

（ 2 ）经验法则（ 3σ原则）

当一组数据对称分布时 ，经验法则表明 ：

① 约有68%%的数据在平均数±1个标准差的范围之内；

② 约有95%%的数据在平均数±2个标准差的范围之内；

③ 约有99%%的数据在平均数±3个标准差的范围之内。

因此 ，在平均数±3个标准差的范围内几乎包含了全部数据 ，而在±3个标准差之外的数据称为离群点。

（ 3 ）切比雪夫不等式

① 概念 ：对于任意分布形态的数据 ，根据切比雪夫不等式 ，至少有（ 1 - 1/k2 ）的数据落在±k个标准差之内。其中k是大于1的任意值 ，不一定 是整数。对于k＝2 ，3 ，4 ，该不等式的含义是 ：

a ．至少有75%%的数据落在平均数±2个标准差的范围之内；

 b ．至少有89%%的数据落在平均数±3个标准差的范围之内；

 c ．至少有94%%的数据落在平均数±4个标准差的范围之内。

② 特点 ：切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用。