评定精度的标准

为了衡量观测值的精度高低，可以按前述的3种方法，把一组相同条件下得到的误差，用绘制误差分布表、直方图或误差分布曲线的方法来比较。但实际工作中，这样做只能定性地反映观测结果的好坏，无法定量精确表示。因此需要寻找衡量精度的定量标准，即评定精度的指标，该指标能够反映误差分布离散度的大小，且易于得到。评定精度的指标有多种，下面介绍几种常用的精度指标。

一、中误差

前面提到了观测误差的标准差σ，其定义为

用式（5-5）求σ值要求观测数n趋近无穷大，而在实际测量工作中，观测数是有限的，一般采用下述公式：式中：m为中误差；［ΔΔ］为一组同精度观测误差自乘的总和；n为观测数。

比较式（5-5）与式（5-6）可以看出，标准差σ与中误差m的不同在于观测个数的区别，标准差为理论上的观测精度指标，而中误差则是观测数n有限时的观测精度指标。所以，中误差实际上是标准差的近似值，统计学上又称估值，随着n的增加，m将趋近σ。

由图5-2可以看出曲线越陡，标准差越小，即σ1＜σ2＜σ3，说明曲线Ⅰ的精度最高，曲线Ⅱ的精度其次，曲线Ⅲ的精度最低。因此用中误差m的大小来衡量精度与前面3种方法完全一致，即中误差越小精度越高，简单易懂。

【例题5-1】 设有两组同学观测同一个三角形，每组的三角形内角和观测成果见表5-2，各观测10次。试问哪一组观测成果精度高？

表5-2　按观测值的真误差计算中误差

解：计算过程见表5-2，先计算Δi，再计算Δ2i，然后求和。按照式（5-6）计算结果如下：

由此可以看出第一组观测值比第二组观测值的精度高。虽然两组观测值的平均误差相等，但是第二组的观测误差比较分散，存在有较大的误差，用平方能反映较大误差的影响。因此，测量工作中通常采用中误差作为衡量精度的标准。

二、允许误差

中误差反映误差分布的密集或离散程度，它代表一组观测值的精度高低，不代表个别观测值的质量。因此，要衡量某一观测值的质量，决定是否取用，还需要一个新的精度衡量标准——允许误差。允许误差又称为极限误差，简称限差。由偶然误差的特性可知，在一定条件下，误差的绝对值不会超过一定的界限。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间（-σ，+σ）、（-2σ，+2σ）、（-3σ，+3σ）的概率分别为

自测5-1

式（5-7）说明，绝对值大于两倍中误差的误差出现的概率为4.6%；绝对值大于三倍中误差的误差出现的概率仅为0.3%，已经是概率接近于0的小概率事件，或者说是实际上的不可能事件。因此在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定三倍或两倍中误差为偶然误差的允许误差或限差，即

超过上述限差的观测值被认为是错误的，应舍去，或返工重测。

三、相对误差

中误差和允许误差均与被观测量的大小无关，统称为绝对误差。在测量工作中，有时用绝对误差还不能完全表达观测结果的精度。例如，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其距离的长短有关。为此，采用相对中误差衡量观测值的精度。相对中误差是观测值的中误差与观测值的比值，通常用分子为1的分数形式表示。上述例子中，前者的相对中误差为而后者则为前者分母大，比值小，量距精度高于后者。

在距离测量中，常采用往返观测的较差与观测值的平均值之比计算相对误差，来衡量精度。但是相对误差不能用作衡量角度观测的精度指标。