如何用符号来表示知识？

知识 → 符号表示→ 读入符号→ 获得知识

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命题逻辑

• 我们首先来看命题逻辑的概念

• 命题：对客观世界的带有真假意义的确定性的陈述句。

– 命题一定是陈述而不是疑问，也不是感叹；

– 命题要有确定性， “他晚上可能会来” 不是一个命题

– 命题要有真假意义。

• 命题可以是单一命题，如“煤是白色的”，也可以是复合的，比如“香蕉具有黄色的皮并且内部是白色的”。

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例2.1 利用命题逻辑表示知识

– 用大写英文字母表示命题中的实体和事实，配合逻辑符号，可以表示知识。

• 例：有A、B、C三位同学参加面试，面试官对三人进行了判断，得到如下几条想法：

– （1）三人中至少录取一人；

– （2）若录取A而不录取B，则一定录取C；

– （3）BC要么都录取，要么都不录取；

– （4）若录取C，则一定录取A。

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例2.1 利用命题逻辑表示知识

• 我们令P、Q、R分别表示录取A、B、C，则老师的想法可以表示为：

– （1）三人中至少录取一人； // P∨Q∨R

– （2）若录取A而不录取B，则一定录取C； // P∧¬Q→R

– （3）B、C要么都录取，要么都不录取； // Q ↔R

– （4）若录取C，则一定录取A。 // R→P

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命题逻辑公式

• 命题逻辑定义了完整的逻辑符号和逻辑公式，常用的包括：

– 幂等律： P∧P ≡ P，P∨P ≡ P

– 矛盾律： P∧¬P ≡ F – 排中律： P∨¬P ≡ T

– 零律： P∧F ≡ F，P∨T ≡ T

– 同一律： P∧T ≡ P，P∨F ≡ P

– 双重否定律： ¬¬P ≡ P

– 交换律： P∧Q ≡ Q∧P，P∨Q ≡ Q∨P – 结合律： (P∧Q)∧R ≡ P∧(Q∧R)

(P∨Q)∨R ≡ P∨(Q∨R)

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命题逻辑公式

– 分配律： (P∨Q)∧R ≡ (P∨R)∧(Q∨R)，

(P∧Q)∨R ≡ (P∧R)∨(Q∧R)

– 吸收律： P∧(P∨Q) ≡ P，P∨(P∧Q) ≡ P

– 德摩根定律： ¬( P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q

¬( P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q

– 蕴涵转换： P→Q ≡ ¬P∨Q

– 等价转换： P↔Q ≡ P→Q∧Q→P

– 假言易位： P→Q ≡ ¬Q→¬P

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命题逻辑的局限性

• 命题逻辑用符号表示命题，通过逻辑符号连接命题得到复合命题，从而实现知识表示。但命题逻辑对命题内部的结构、对不同命题的共同特征缺少描述手段。

• 如：小张是一个父亲，小李也是一个父亲。

– 我们用P和Q表示两个命题，则整个命题表示为 P∧Q

– 虽然两个命题非常类似，但在符号中无法体现

• 因此，在命题逻辑基础上，发展出了谓词逻辑。

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谓词逻辑的概念

• 仔细观察一个命题，会发现最简单的命题至少由一个主语和一个谓语组成。

– 小张是一个父亲

– 煤是白色的

– 香蕉的味道是甜的

– 主语表示了独立存在的某个事物、实体或者概念

– 谓语则刻画了主语的性质、状态、关系等属性。

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谓词逻辑的概念

• 命题中，主语往往是具体的，特定的，但谓词具有通用性，如：

– 小张是一个父亲

小李是一个父亲

– 煤是白色的

棉花是白色的

– 香蕉的味道是甜的

苹果的味道是甜的

– 因此，将命题中的“谓词”抽象出来，作为知识的核心，而将主语作为谓词支配的部分，就可以将知识形式化。这就是谓词逻辑。

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谓词的形式

• 用谓词来描述简单命题的基本形式，如：

– 其中，P是一个谓词，x1 ,x2 , … , xn 是谓词操作的个体。

– 谓词操作的个体数目，称为谓词的元数。如：

P(x1) 是一元谓词

P(x1,x2) 是二元谓词

• 谓词的定义、含义，一般由使用者自行规定，一般由具有相应意义的英文单词表示。

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例2.2 用谓词表示知识

• 设计谓词，表示如下命题

– 小张是一个父亲

小李是一个父亲

– 煤是白色的

棉花是白色的

– 香蕉的味道是甜的

苹果的味道是甜的

• 一种合理的设计方式如下：

– is_a(小张，父亲)， is_a（小李，父亲）

– color( 煤，白色)， color( 棉花，白色)

– taste(香蕉，甜)， taste(苹果， 甜)

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例2.2 用谓词表示知识

• 设计谓词，表示如下命题

– 小张是一个父亲

小李是一个父亲

– 煤是白色的

棉花是白色的

– 香蕉的味道是甜的

苹果的味道是甜的

• 也可以将谓词设计的更具体，设计成一元谓词

– father(小张) ， father（小李）

– white( 煤）， white( 棉花)

– sweet(香蕉)， sweet(苹果)

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用谓词组成谓词语句

– 有了基本的谓词形式，就可以用谓词通过逻辑组合、嵌套等方式，组成更复杂的知识，如：

– 用逻辑运算符（连接符）组合谓词：

• 合取（与）∧、

• 析取（或）∨、

• 非¬ 、

• 蕴含→、

• 等价↔。

– 用括号( )、[ ]组成具有优先运算关系的谓词。

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例2.3 用谓词组成语句

• 设计谓词，表示如下命题:

– 小李不在足球场

¬ in(小李，足球场)

– 李明会打篮球和踢足球

canplay(李明，篮球) ∧ canplay(李明，足球)

– 我想吃鸡蛋或者蛋糕

wanteat(我，鸡蛋) ∨ wanteat(我，蛋糕)

– 小张的父亲是教师

is_a( father(小张)， 教师)

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例2.4 带有蕴含的谓词语句

• 蕴含→是一种特殊的逻辑运算，P→Q表示了如果P成立，那么Q成立

• 我们看几个带有蕴含的谓词语句

– 如果李明跑得最快，那么他会夺得冠军。

run(李明， 最快) → win（李明，冠军）

– 如果王亮做好整个传感器，但传感器仍然无法使用，那么他得加班修理，或者明天交给他的师傅。

make(王亮，传感器) ∧ ¬work(传感器) →fix(王亮，传感器) ∨give

（王亮，传感器，master(王亮) ）

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原子语句

• 在谓词语句中，我们将“一个谓词”称为原子语句。

• 这是个常用概念，原子语句中允许出现嵌套，但没有逻辑运算符号。下面是一些原子语句的例子。

– weather( today , rain )

– likes( tom, kate )

– friends( father_of(david) , father_of(tom) )

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谓词的变量与量词

• 至此，我们可以用谓词语句来表达一些固定的知识。

• 但这些知识中的“实体”都是特指的，如果我们想表达 “所有人都喜欢吃苹果”，如何实现？

• 这就是谓词中的“变量”。既然所有人不是特指，则可以用一个大写英文字母来表示，得到： lovetoeat(X,apple)

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谓词的变量与量词

• 但仔细想想仍然有问题，这种表示无法区分“所有人”和

“有些人”。

• 对此，谓词逻辑设计了两种“量词”

– 存在量词 ∃x ：一定存在一个x，满足。。。

– 全称量词 ∀x ： 对所有的x，都满足。。。

• 将量词与谓词搭配，就可以得到：

– 所有人都喜欢吃苹果 ： (∀x) lovetoeat(x,apple)

– 有些人喜欢吃苹果 ： (∃x) lovetoeat(x,apple)

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量词的转换公式

• ¬∃X p(X) ≡ ∀X ¬p(X)

– 不存在X使p(X)成立，等价于对任意X，都使¬p(X)成立

• ¬∀X p(X) ≡ ∃X ¬p(X)

– 不是所有的X都使p(X)成立，等价于至少存在一个X，使¬p(X)成立

• ∀X (p(X)∧q(X)) ≡ ∀X p(X)∧∀Y q(Y) • ∃X (p(X)∨q(X)) ≡ ∃X p(X)∨∃Y q(Y)

– 这两条留给大家分析含义

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例2.5 带有量词的谓词语句

• 如果星期一不下雨，Tom会去登山。

• ¬weather(monday, rain)→go(tom, mountains)

• 所有篮球运动员都很高。

• ∀X (baskateball_player(X)→tall(X))

• 许多人喜欢三文鱼。

• ∃X (person(X)∧likes(X, Salmon))

• 没有人喜欢纳税。

• ¬∃X likes(X, taxes)

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一阶谓词逻辑

• 至此，我们介绍了有关谓词逻辑的基本知识。

• 在谓词逻辑中，如果全称量词和存在量词仅针对谓词支配的实体，而不针对谓词本身，称为一阶谓词。反之则是高阶谓词。如：

– （∀Likes) Likes(bill, cat)

– 这里的量词支配的是谓词，因此不是一阶谓词。

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一阶谓词逻辑的优点

• 一阶谓词可以表达对客观世界的陈述、以及对象关系、逻辑关系。

• 有许多优点：

– 自然性、精确性、容易实现

• 也有许多缺点：

– 不能表示不确定性知识

– 形式过于自由，兼容性差

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一阶谓词逻辑设计制定过程

• 将一组命题知识表示为一阶谓词逻辑的过程可以描述为：

– 正确理解命题。分析原子命题、以及原子命题之间的关系。

– 为每个原子命题定义个体、谓词；

– 使用恰当的量词。应注意全称量词后跟条件式，存在量词后跟合取式。

– 使用恰当的连接符。用连接符连接谓词句子，表示给定的命题。