第三节 重力坝的应力分析

一、应力分析的目的与方法

      应力分析的目的在于检查坝体和坝基在计算情况下能否满足强度的要求，并根据应力分布情况进行坝体混凝土标号的分区；同时，也为了研究坝体某些部位的局部应力集中和某些特殊结构(如坝内孔道、溢流坝闸墩和挑流鼻坎等)的应力状态，以便采取加强措施。

      重力坝一般分成若干互相独立的坝段。可以作为平面问题处理，使应力分析得到简化。应力分析的方法可归纳为理论计算和模型试验两大类。理论计算又分为材料力学法和弹性理论法等。材料力学法是一种常用的计算方法。其基本假定是坝体水平截面上的垂直正应力呈直线分布，即σy可按材料力学的偏心受压公式计算。根据这个假定就可从计算水平截面上的σy着手，再应用静力平衡条件依次求出坝体内任一点的应力分量和主应力。这个方法的计算结果，在坝体上部2/3～3/4坝高范围内较为准确，但靠近坝基部分则不能反映地基变形对坝体应力的影响。对较复杂的的边界和坝坡转折部位也不能准确反映其应力状态。但此法计算简便，且有长期的工程实践经验，所以至今仍得到广泛应用。

      弹性理论的解析法是一种严格而精确的计算方法，它将坝体视为弹性的连续体，根据应力必须满足力的平衡条件，变形相容和坝体边界条件，经过严格的数学推导求得应力。但目前只有少数边界条件简单的典型结构才有精确的解答。对于实际的坝体和荷载情况寻求理论解是非常困难的。所以在重力坝设计中较少采用。近30年来随着电子计算机的发展，国内外广泛采用弹性理论的有限单元法来计算坝体应力．这个方法是把弹性的连续体离散化为有限数目单元的组合体。并考虑组合体内单元之间的位移连续条件。它对各种复杂的边界条件和坝体、坝基材料不均匀性都能给以反映；并能考虑坝体材料的应力应变非线性关系和坝基有软弱破碎带对坝体应力的影响；还可求解温度应力和地震动应力等，是一种综合功能较强的计算方法。但是如何用有限单元法直接进行重力坝的剖面和地基设计，尤其是如何选择控制坝体、坝基内的应力和变形指标，以及如何确定坝的安全度等问题，目前尚未完全解决，有待于继续研究。

      实践证明，对于一般中等高度或较低的坝，应力问题往往不是设计中的控制条件，用材料力学法已能得出安全和合理的设计。因此，对于地质条件较为简单的中、低坝，可只按材料力学法计算坝体的应力；对于高坝或地质条件复杂的坝，除用材料力学法计算外，宜同时进行结构模型试验或采用有限单元法进行验算。本章主要介绍应力分析的材料力学法，简要介绍有限单元法。

二、应力分析的材料力学法

      用材料力学法计算坝体应力时，一般沿坝轴线切取单宽的坝体作为固接于地基上的变截面悬臂梁。按平面问题进行计算。图4-10表示非溢流坝横断面的计算简图，并规定坐标方向。作用力及应力的正向如图中所示，取水平外力以指向上游为正，铅直外力以向下为正。力矩以反时针方向为正，正应力以压为正，剪应力以微分体的拉伸对角线在一、三象限为正。为便于区别上下游边缘应力分别用“”和“〞”加以标注。

      (一)边缘应力的计算

      坝体的最大和最小主应力一般都出现在上下游边缘，而且要计算坝体内部应力也需要以边缘应力作为边界条件。因此，了解边缘应力是重力坝应力分析的基本内容。计算时，应根据工程规模和具体情况，沿坝高方向每隔一定高度(或断面轮廓有突变处)切取水平截面作为计算截面。

      1． 水平截面上的边缘正应力σy′和σy〞

      假定任一水平截面上的垂直正应力σy呈直线分布，可用材料力学偏心受压公式计算。

       σy′=(∑W)/T+(6∑M)/T^2

       σy〞=(∑W)/T-(6∑M)/T^2                             (4-14)

      式中： ∑W为作用在计算截面以上全部荷载的铅直分力总和；∑M为作用在计算截面以上全部荷载对截面形心的力矩总和；T为计算截面沿上下游方向的宽度。

      从图4-11可知，∑M=e∑W，以此代入式(4-14)。甚易看出：

     e>T/6时, σy〞<0; 

     e=T/6时, σy〞=0 ；

     e>T/6时, σy〞>0；

     e<-T/6时, σy′<0; 

     e=-T/6时, σy′=0; 

     e>-T/6时, σy′>0。

     这个关系式说明水平截面的宽度T的中间三分之一是“截面核心”，当合力R作用线交于“截面核心”以内时，上下游边缘的垂直正应力σy′、σy〞均为正值，即压应力；当合力R作用线交于“截面核心”以外时，靠近交点一侧的边缘上垂直正应力为压应力。远离交点一侧边缘的垂直正应力为拉应力，这个概念对重力坝的设计尤为重要。

     2．边缘剪应力τ'和τ〞 

     求出σy′和σy〞以后，可在上下游边缘A、B点分别切取三角形微元体，如图4-10(b)所示。根据力的平衡条件即可求得τ'和τ〞 。

     对上游坝面A点三角形微元体，取∑Fy=0得：

               p′ds sinφu-τ′-σy′dx=0        

               τ′=p′dx/dy-σy′dx/dy=(p′-σy′)n             (4-15)

     同理，对下游坝面B点微元体取∑Fy=0得                            

           τ〞=(σy〞-p〞)m                                      (4-16)

     式中：p′、p〞分别为计算截面处上下游坝面的水压力强度(如有泥沙压力和地震动水压力时也应计算在内)；n、m分别为上下游坝面坡率，n=tgφu,m=tgφd,φu和φd为上下游坝面与铅直面的交角。

     3.铅直截面上的边缘正应力σx′和σx〞

     求得τ'和τ〞以后，由上下游坝面微元体的平衡条件∑Fx=0可求得σx′和σx〞。

     对于上游坝面A的微元体，取∑Fx=0得：

     σx′dy+τ′dx-p′dscosφu=0

     σx′=p′-τ′dx/dy=p′-(p′-σy′)n^2                (4-17)

     同理，对下游面B的微元体取∑Fx=0得：

      σx〞 =p〞+(σy〞-p〞)m^2                (4-18)

     4．边缘主应力σ′和σ〞

      由材料力学知主应力作用面上无剪应力，故上下游坝面即为主应力面之一，而另一主应力面必然与坝面垂直。为求边缘主应力，取如图4-10(c)所示的三角形微元体，由作用在上游坝面微元体上力的平衡条件∑Fy=0可得：        σ1′dxcosφu cosφu+p′dxsinφu-σy′dx=0

                  σ1′=(1+n^2 ) σy-p′n^2                         (4-19)

      同理，由下游坝面微元体取∑Fy=0得：

                   σ1〞=(1+m^2 )σy〞-p〞m^2               (4-20)

      显然另一主应力即为作用在坝面上的压力强度，分别为：

                   σ2′= p′                                     (4-21)

                   σ2〞=p〞                                 (4-22)

      由公式(4-19)可以看出，当上游坝面倾斜时，n>0,即使σy′≧0，但如σy′< p′(sinφu)^2，上游面主应力σ1′仍会成为拉应力。因此重力坝的上游坝面坡率n一般很小乃至为零，以防上游坝面出现主拉应力。

      5．有扬压力时边缘应力的计算

      以上所列边缘应力的计算公式均未计入扬压力的影响，对于刚建成的或刚开始蓄水的坝，在坝体内或坝基中尚未形成稳定渗流场时，若要考虑坝踵和坝趾的应力状态则可利用上述公式计算。   

      当水库正常蓄水且运行较长时间后，通过坝体和坝基的渗透水流，已逐渐形成稳定的渗流场，需要考虑扬压力的作用时，水平截面上的边缘正应力σy′、σy〞仍可由式(4-14)计算。只要把扬压力作为一种荷载计入∑W和∑M中即可。但必须注意到考虑扬压力所求得的正应力σy是作用在材料骨架上的有效应力，而截面上的总应力则等于有效应力加扬压力(若扬压力强度在截面上呈线性分布)。求出边缘正应力σy′及σy〞之后，其他边缘应力仍可根据坝面微元体的平衡条件求得。

     (二)内部应力的计算

     在边缘应力求得以后，即可根据平衡条件推算坝体内部应力。

     1．坝体内部应力的平衡条件

     在坝体内部取单位厚度的微元体，按平面问题考虑。当坝内不计扬压力时，微元体上所受的力如图4-12（a）所示。根据∑Fy=0和∑Fx=0可得微元体的平衡方程为：

       (∂σx)/∂x-∂τ/∂y+λγc=0

       (∂σy)/∂y-∂τ/∂x+γc=0     （4-29）

      式中:γc为坝体材料的容重；λ为地震惯性力系数。                                      

      2.坝内水平截面上的正应力σy

      根据σy在水平截面上呈直线分布的假定，可得距下游面x的σy为： σy=a+bx   (4-30)

     式中系数a、b可由边界条件和偏心受压公式确定。采用的坐标x、y见图4-12(b)。

     当x=0时，σy=σy〞，故有:   a=σy〞=∑W/T－6∑M/T^2            (4-31)

       当X=T时，σy=σy′，故有:   b=(σy′－σy〞) /T=12∑M/T^2          (4-32)

       3．坝内剪应力τ

      将σy=(a+bx)代入(4-29)式，经积分并利用边界条件确定积分常数，可得剪应力τ沿x轴呈二次抛物线分布(图4-12),写成通式为： τ=a1+b1x+c1x^2                (4-33)

      式中a1 、b1 、c1三个待定常数，可根据下面三个条件确定：

      (1)当x=0(下游面), τ=τ〞,即  a1=τ〞；

      (2)当x=T(上游面)，τ=τ′，即  τ= a1+b1T+c1T^2  

      (3)整个水平截面上剪应力的总和，应与截面以上水平荷载总和∑P平衡。即 a1T+b1T^2/2+c1T^3/3=-∑P

       将以上三个方程联立求解，可以得出：

        a1=τ〞

        b1=-(6∑P/T+2τ′+4τ〞)/T

        c1=(6∑P/T+3τ′+4τ〞)/T^2

       4．坝内水平正应力σx

      将τ=a1+b1x+c1x^2代入平衡方程式(4-29), 对x进行积分。由边界条件确定积分常数。可得水平正应力σx 为三次曲线分布(图4-12b)，其表达式为： σx=a2+b2x+C2x^2+d2x^3            (4-35)

      对于特定的水平截面，a2、 b2 、c2 、d2均为常数，可由边界条件和平衡条件求得，但计算较为复杂。实际上，σx的三次分布曲线与直线相当接近。所以对中等高度以下的坝，可近似地作为直线分布，即只取上式的前两项计算：  σx=a3+b3x  

          a3=σx 〞                                 (4-36)

         b3=(σx′－σx〞)/T                       (4-37)

         5．坝内主应力σ1、σ2

       求得坝内各点的三个应力分量σy、τ和σx后(见图4-12)，即可利用材料力学公式求该点的主应力σ1、σ2和第一主应力方向φ1。

       φ1以顺时针方向为正，当σy>σx时，自铅直线量取；σy <σx时，自水平线量取。

       求出坝内各点的主应力后，即可在计算点上绘出以矢量表示其大小和作用方向的主应力图，将主应力数值相等的点连以曲线构成主应力等值线。按主应力方向可绘出两组互相垂直的主应力轨迹线。主应力等值线和轨迹线表示坝内应力大小和方向的变化规律，为坝体混凝土标号分区和结构布置提供依据。

       6．有扬压力的坝内应力

      以上所列出坝内的剪应力τ和正应力σy、σx的计算公式适用于无扬压力作用的情况。对于有扬压力作用的情况，当扬压力沿全截面为直线分布时，可不必专门计算，只须将所得的垂直正应力σy和水平正应力σx减去该点的扬压力强度pu即可，剪应力τ的值不变。

      实际上由于坝体及坝基的防渗、排水等作用，水平截面上的扬压力一般呈折线分布。计算时，可将扬压力分解为一个在全截面呈梯形或三角形分布和一个在上游部分呈局部三角形分布的图形。沿全截面呈直线分布的扬压力对坝体应力的影响已如上述。对于呈局部三角形分布的扬压力(渗透压力部分)引起坝体的应力，可先求出在局部扬压力作用下产生的坝体应力，然后在其作用的局部截面上对τ、σx进行修正。将以上两部分扬压力所引起的坝内应力叠加，即可求得折线分布的扬压力所产生的坝内应力。

     （一）定值法的坝体强度控制标准

      《混凝土重力坝设计规范》（SL319-2018）规定的定值法应力控制标准，即作用荷载采用一定条件下的固定值，并用前述材料力学法计算坝体边缘的各应力分量，再与规定的允许应力值进行比较，校核是否满足强度要求。具体应力控制标准分述如下：

       1、 坝基面坝踵、坝趾应力的控制标准

       （1）运行期： ①在各种荷载组合下（地震荷载除外），坝踵垂直应力不应出现拉应力，坝趾垂直应力应小于坝基容许压应力。②在地震荷载作用下，坝踵、坝趾的垂直应力应符合水工建筑物抗震设计规范的要求。

       （2）施工期：坝趾垂直应力允许小于0.1MPa的拉应力。

       2、坝体应力的控制标准

      （1）运用期：①坝体上游面的垂直应力不出现拉应力（计入扬压力）。②坝体最大主压力，不应大于混凝土的允许压应力值。③在地震荷载作用下，坝体上游面的应力控制标准符合《水工建筑物抗震设计规范》(SL-203)的要求。④宽缝重力坝离上游面较远的局部区域，允许出现拉应力，但不得超过混凝土的允许拉应力；溢流堰顶、廊道及底孔洞周边出现拉应力时，宜配置钢筋。

      （2）施工期：①坝体任何截面上的主压应力不应大于混凝土的允许压应力。②在坝体的下游面，允许不大于0.2MPa的主拉应力。

       上述混凝土的允许应力应按混凝土的极限强度除相应的安全系数确定。坝体混凝土安全系数，基本组合不应小于4；特殊组合（不含地震情况）不应小于3.5。当局部混凝土有抗拉要求时，抗拉安全系数不应小于4.0。在地震情况下，坝体的结构安全应符合水工建筑物抗震设计规范的要求。

      （二）分项系数极限状态坝体强度验算

       《NB∕T 35026-2014 混凝土重力坝设计规范》采用分项系数极限状态设计方法，即荷载计算时，考虑了各种作用（荷载）都有变异性或随机性。并给出了各种作用的分项系数，从而计算出相应的设计值，然后用材料力学法计算各应力分量并用极限状态设计原则进行强度验算。

       1.承载能力极限状态坝趾的抗压强度验算

       验算坝趾抗压强度时，应按承载能力极限状态，按式（1-58）和（1-59）分别计算基本组合和偶然组合两种情况，计算时按公式要求采用材料的标准值和作用的标准值或代表值。作用效应函数S(*)和抗压强度极限状态抗力函数R(*)分别为:

       S(*)=((∑MR/AR -∑MRTR)/JR)(1+m2^2)     (4-53)

        R(*)=ƒC或R(*)=ƒR                                      (4-54)

       式中： ∑WR为坝基面上全部法向作用之和（KN），以向下为正；∑MR为坝基面上全部作用对形心的力矩之和（KN·m）,以逆时针为正；AR为坝基面的面积（m2）；JR为坝基面对形心轴的惯性矩（m4）；TR为坝基面形心轴到下游面的距离(m)；m2为坝体下游坡率,ƒC、ƒR 分别为混凝土抗压强度和基岩抗压强度（kPa）。

      2.承载能力极限状态坝体选定截面下游端点的抗压强度验算

      验算坝体选定截面下游端点的抗压强度时，同样应按承载能力极限状态，按式(1-58)和式(1-59)分别计算基本组合和偶然组合两种情况，计算时按公式要求采用材料的标准值和作用的标准值或代表值。作用效应函数S(*)和抗压强度极限状态抗力函数R(*)分别为:

      S(*)=(∑WC/AC-∑MCTC/JC)(1+m22)   (4-55)                                    

      R(*)=ƒC                             (4-56)

      式中： ∑WC算截面上全部法向作之和(kN)，以向下为正；∑MC算截面上全部作用对形心的力矩之和（KN·m）,以逆时针为正；AC算截面的面积（m2）；JC算截面对形心轴的惯性矩（m4）；TC算截面形心轴到下游面的距离(m)；

      其它符号意义同式（4-53）和式（4-54）。

      3. 正常使用极限状态坝体上、下游面拉应力验算

    （1）运行期坝体上游面拉应力验算

      规范要求运用期按正常使用极限状态验算坝体上游面拉应力，应满足分项系数极限状态表达式(1-60)和式(1-61)，并按作用的标准值分别计算作用的长期组合和短期组合。要求坝踵垂直应力不出现拉应力（计扬压力），核算坝踵拉应力的计算公式为:

       ∑WR/AR+∑MRTR/JR≧0      (4-57)

     式中TR为坝基面形心轴到上游面的距离（m），其它符号意义同式（4-53）。

     核算坝体上游面拉应力的计算公式为 :                     

      ∑WC/AC+∑MCTC/JC≧0             (4-58)

     式中TC为计算截面形心轴到上游面的距离（m），其它符号意义同式（4-55）。

     （2）施工期坝体下游面拉应力验算

      施工期属短暂状况，规范规定按正常使用极限状态作用的标准值计算作用的短期组合。坝体下游面垂直拉应力应不大于100kPa。计算公式为:   ∑WC/AC-∑MCTC/JC≦100kPa         (4-59)

      应力控制标准与采用的分析方法有关，应力分析方法不同，控制标准也不一样，目前我国重力坝设计规范规定了按材料力学法计算的应力控制标准，还提出了有限元法计算坝体应力时的应力控制标准。

      用有限元法计算坝体应力时，作用(荷载)取标准值，材料、地基性能应根据试验结合工程类比取定值计算。有限元法计算混凝土重力坝上游垂直应力时，控制标准为：

      (1)坝基上游面：计入扬压力时，拉应力区宽度宜小于坝底宽度的0.07倍或坝踵至帷幕中心线的距离。

      (2)坝体上游面：计入扬压力时，拉应力区宽度宜小于计算截面宽度的0.07倍或计算截面上游面至排水孔(管)中心线的距离。

五、各种非荷载因素对坝体应力的影响

      用材料力学法计算坝体应力除考虑一般作用荷载和扬压力外．尚有许多影响坝体应力分布的因素未加考虑。以下仅就地基变形、地基不均匀性、施工纵缝等因素的影响作简要介绍。

      (一)地基变形对坝体应力的影响

      材料力学法中假定任何水平截面的σv呈直线分布．即任何水平截面在变形后仍保持为平面。实际上坝基受到坝体传给的力和库水的压力作用，必然要发生变形，见图4-15(a)。这就使得与地基相连接的坝底面不可能仍然保持平面状态。由于坝体和地基的接触面要协调变形，所以沿坝基面和坝体都将发生明显的应力重分布。

       用弹性理论分析和模型试验所得结果表明，地基变形使坝底面以上约(1/3～1/4)坝高范围内的应力分布与材料力学法的计算结果有较大的差别，其中以坝底面的差别最大。在这个范围内的应力分布状况与坝体材料的弹性模量EC和地基弹性模量Er的比值有关。图4-15（b）表示EC=Er时沿坝高不同水平截面的垂直正应力σv分布。可见地基变形对坝体应力分布的影响只限于坝体下部，而坝体的中、上部分基本上符合直线变化的假定。图4-16给出空库和满库时不同EC/Er值的坝底应力分布规律。由图可见，空库时，EC/Er愈大则坝踵处的σv及τ应力集中愈显著；满库时，当EC/Er趋于很小时，即地基非常坚硬,在坝踵及坝趾的σv均为拉应力,而截面中部的压应力比材料力学法的计算成果(图中虚线表示)有较大的增加：当EC/Er=1时，下游坝趾的σv有应力集中的趋势；而当EC/Er趋于很大时，即地基弹性模量很低时，σv不仅在坝趾出现显著的压应力集中．且坝踵也有一定程度的应力集中现象。由以上分析可知，地基刚度过大，对上游坝踵的应力情况反而不利。当然也不能过于软弱，以免发生其他不利的后果。从应力分布方面来看，若能使EC/Er在1～2的范围内是有利的。

      (二)地基不均匀性对坝体应力的影响

       以上讨论了地基刚度变化对坝体靠近基础部位应力分布的影响，但地基仍假定为均匀体。在许多工程中，地基由几种不同弹性模量的岩体组成。这种软硬不等的非均匀地基当然也会对坝体及坝基面应力产生影响。图4-17表示均匀地基和由两种软硬不同的岩石组成的非均匀地基经模型试验研究得出的应力分布规律。由图可见，当上游坝踵附近地基的刚度较大时．有可能产生拉应力；相反，当上游坝踵附近地基的刚度较小，而靠近坝趾的地基刚度较大时，上游坝踵的应力状态较均匀地基有所改善，增加了压应力,而下游坝趾的压应力有所减小。因此．若坝体必须跨在两种不同刚度的地基上，宜将下游坝体布置在较坚硬的岩基上，这样可避免或降低坝踵处的拉应力。若下游基岩较软弱时，则可采用必要的工程措施加以改善。

       (三)施工纵缝对坝体应力的影响

       重力坝断面较大．施工时由于受到混凝土浇筑能力的限制和温度控制的要求，常须设置平行坝轴线方向的纵缝将坝段分成若干坝块浇筑。并在适宜的时间进行纵缝灌浆使坝成为整体，然后水库才开始蓄水。在这种情况下，水压力、扬压力等均由整个坝体承担。而坝体自重应力则是由灌浆前的独立坝块所引起的。图4-18表示坝体上游坡度n=0、n>0、n<0三种情况，不考虑和考虑纵缝影响的自重应力分布规律。由图可见，当n=0时。即上游为铅直坝面，不考虑纵缝与考虑纵缝的自重应力基本相同；当n>0，即上游坝面为正坡。考虑纵缝时上游坝踵的自重应力减小了，与水压力引起应力叠加的结果．坝踵处的应力状况明显恶化，可能发生拉应力。因此上游坝坡不宜过缓；当n<0，即上游坝面形成倒坡时，考虑纵缝影响时上游坝踵的自重应力增大了，与水压引起的应力叠加结果，对坝踵处的应力却很有利。我国石泉大坝和瑞士的大狄克逊坝为改善坝踵应力状况，上游坝面均采用倒坡。但为避免施工上的困难和防止施工期坝趾出现过大的拉应力，倒坡不宜过大。国内有些坝将纵缝做到适当的高程后即行冷却并灌浆形成整体。或在某一适当的高程实行并缝，然后再继续全断面浇筑，这样也有助于改善坝踵的应力状态。