第二节“测量”内容与教材分析

几何学起源于图形的测量。简单几何图形的测量包括长度、角度、面积与体积的度量，度量的关键是设立单位，度量的实际操作就是测量。在小学阶段，物体长度的度量与估计、长方形及正方形的周长和面积计算、长度单位及常见的面积单位的认识被安排在第一学段；角的度量、基本平面图形以及不规则平面图形的测量、简单几何体以及简单实物的测量等内容被安排在第二学段。

一、《数学课程标准》对“测量”的要求

（一）对“测量单位、长度的测量”的要求

对测量单位、长度测量等内容《数学课程标准》的要求如下。

课标摘要

1．第一学段

（1）结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。

（2）在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。

（3）结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米2、分米2、米2，能进行简单的单位换算。

2．第二学段

（1）知道面积单位千米三、公顷。

（2）通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米“、分米3、厘米3、升、毫升），能进行单位之间的换算，感受1米3、1厘米“以及1升、1毫升的实际意义。

（3）能估测一些物体的长度，并进行测量。

第一学段要求（1）中“体会建立统一度量单位重要性”对面积、体积的单位也同样适用。度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。

第一学段的要求（2）（3），第二学段的要求（1）（2）能使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果、量的大小或关系有较好的感悟。

第二学段要求（3）估测（或估计）是《数学课程标准》突出强调的内容。估测（或估计）既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。估测是测量的一个重要组成部分。在实际生活中，对一个量的估测常常比精确计算它的大小更重要。对长度、面积、体积的含义及单位的认识，始终是伴随着测量实际活动的，这个过程也应该是不断发展学生估测意识和能力的过程。

（二）对“平面图形的测量”的要求

“平面图形的测量”主要包括周长、面积及角的测量。《数学课程标准》中的具体要求如下。

课标摘要

1．第一学段

（1）结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长，探索并掌握长方形、正方形的周长公式。

（2）探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积。

2．第二学段

（1）能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°、45°、60°、90°角。

（2）探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。

（3）通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。

（4）会用方格纸估计不规则图形的面积。

《数学课程标准》降低了对平面图形面积、周长计算的要求，并提倡将计算融于具体的问题之中。与过去“掌握”的要求不同，《数学课程标准冷对这个内容提出了“探索并掌握”的要求，表明更加重视公式的形成过程，改变过去只重视“结论”而忽视“过程”的做法。这也要求学生转变学习方式，期望学生通过实验和操作，探索出长方形、正方形的面积公式，并会估计简单图形的面积，进一步理解面积的意义，将学生空间观念的发展融于过程之中。

对三角形、平行四边形和梯形三种图形的面积学习，重点要经历探索的过程并在探索的基础上理解，这需要教师在教学中突破局限，为学生提供更广阔的探究空间。另外，“解决简单的实际问题”的要求，体现了面积计算在实际生活中的应用更受重视，这既是学习过程的重要环节，也是学习数学的主要目的。

（三）对“立体图形的测量”的要求

对“立体图形的测量”《数学课程标准》的要求如下。

课标摘要

（1）结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。

（2）体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。

《数学课程标准》对“立体图形的测量”的要求与前面其他测量内容的要求一脉相承。首先，要关注现实、结合情境，强调被测量的对象为简单实物和几何体，强调基于具体问题情境解决实际问题。其次，对学习方式提出了“探索并掌握”的要求，学生需要在主动参与、操作探究、反馈展示、交流评价中经历学习过程。“探索不规则实物的体积”的要求，既具有现实意义，也体现了对空间观念及思想方法的培养。

二、“测量”教材分析

（一）“测量单位、长度的测量”教材分析

1．长度单位、长度测量

长度是线段两端之间的距离。学生进行系统的数学学习之前，在生活世界中已经知道了物体是有“长、短”这个属性的，一年级也学习了比较两个物体长短的内容，因此长度的含义被视为学生的已有经验，教材在编写长度单位认识内容时并不定义“什么是长度”，直接进人长度单位的认识及对物体长度的测量。

测量长度的主单位是米，其余的都是派生出来的单位。但考虑到学生的认识能力及生活经验，教材对长度单位的编写均从认识厘米开始，一般分两次来学习各个长度单位。长度单位的学习顺序在各版本教材中虽然不同，但都强调让学生体会“测量单位统一”的必要性及意义，同时也都注意联系生活情境，运用生活中的素材帮助学生建立1米和1厘米的表象。《数学课程标准》要求的“能估测1些物体的长度，并进行测量”，在教材中也都安排了相应的活动或练习。

长度可以通过工具直接获得度量的结果，不需要通过计算等间接的过程。因此教材并没有单独编写“如何进行长度测量的内容”，该部分内容基本上都是与第一次长度单位的学习整合在一起的，让学生通过测量的实际活动学习和体会如何正确测量长度。

2．面积及面积单位

面积及面积单位的学习，各版本教材基本上都安排在三年级下册，内容安排的整体结构相似，基本上都是先认识“面”，然后给出“面积”的描述性概念，创设比较面积大小的情境，通过对两个图形面积大小的比较，体验用相同的标准测量面积大小的过程，进而过渡到对面积单位的学习。

各版本教材在主题情境引人过程中，都注重联系生活实际，提供具体的情境引人对“面”和“面积”大小的感受。各版本教材基本上都不给出面积的概念，而是结合生活中的实际例子对“面积”的定义进行描述；对于选择什么样的图形作为单位面积，各版本教材差别比较大，有的教材设计了对圆形、三角形、正方形等多种图形进行尝试与体验。有的教材则注重对圆形、大正方形、小正方形等图形进行体验，有的直接使用了“1平方厘米的正方形”。对面积单位的认识，各版本教材的编写顺序是相同的，都较为注重对各个面积单位实际大小的体验和感受。

3．体积、容积及其单位

体积及体积单位内容基本集中在五年级下册。这部分内容除了体积及体积单位外，还涉及容积和容积单位的学习，有的教材将容积与体积的知识编写在一起，有的则分开。对体积概念，可以通过实验引入，也可以从生活经验引人等。

各版本教材在对“物体占有一定的空间”“空间有大有小”这两个体积概念的核心部分都设计了观察、实验、操作等活动，运用大量素材丰富学生的体验和感受，进而建立“物体占有一定的空间”“空间有大有小”的观念。对体积、容积单位的学习，各版本教材延续了对面积单位学习的经验，注重通过设计活动来帮助学生感知各个体积、容积单位的实际大小；但是对三个体积单位，不同的教材侧重点不同。多数教材安排了长度单位、面积单位及体积单位之间的比较，以期在比较中沟通一维、二维、三维之间的联系以及加深对体积单位的认识。体积、容积单位的换算，有的教材将其安排在体积、容积单位学习之后，体积计算之前；有的教材则安排在体积计算的学习之后，利用计算来进一步验证单位之间的进率。

（二）“平面图形的测量”教材分析

1．角的度量

各版本教材中“角的度量”编写结构差别较大，分别从“度量的工具”“度量的单位”“度量标准的产生”等不同内容引人单元内容；教材前后与之衔接的内容也不同，有的将这一内容与“垂线与平行线”单元编在一起，有的作为独立单元编写；角的分类有被编排在角的度量之前的，也有编排在之后的。就主题情境而言，多数教材是直接从“能测量这个角的大小吗？”引人学习，有的教材则通过比较两个角的大小引人测量。

对1°角的认识的编排代表着教材编写者对统一度量单位思想的认识。各版本教材都有“要测量一个角的大小，需要用‘角’来测量”的内容编排，虽然多数教材在此基础上，直接就给出了1°的含义，但是也有个别教材着重体现了“单位的角越小，测量的结果越准确”的思路，解释了一个圆周等分360份后得到的l份的大小这个过程，并且设计了活动以帮助学生建立1°的表象。

利用量角器量角是一项技能，有一定的操作步骤与方法。各版本教材在编排时都留出了让学生探索量角器使用方法的空间，让学生在探索、辨析中理解量角器的构造以及量角的原理，让学生在掌握技能的同时理解方法。用量角器画角的技能，有的教材将其编排在了用量角器量角之后；有的则与量角分开，作为一个专门的技能进行编排。这两种编排方式，各有优势，连续编排体现了内容的连续性，而分开编排则降低了学生学习的难度。

度量是将事物的属性量化，赋予事物一个数值，从而可以在同一维度上比较事物。换句话说，度量是指某个物体具有多少个单位的某种属性。度量单位是度量的核心，在操作中感知度量单位产生的重要性和规定的合理性，这是一个对被度量的量的意义的理解过程。教材编写由于受篇幅限制等原因，普遍对角的度量方法编写得比较充分，而对角的度量思想编写得不够充分。理解度量思想应包括什么是合适的度量单位、如何规定单位、度量单位的实际大小、度量中的误差等。

2．周长的测量

周长是对长度学习的延续。在小学阶段，要求掌握周长计算方法的图形有长方形、正方形及圆。对“周长”的认识，各版本教材都通过一些生活中的实例及图形，让学生在“描一描”“摸一摸”等活动中，理解这些图形一周的长度就是它的周长。但对于“周长”的概念，各版本教材虽然都进行了定义，却有所不同。

各版本教材对长方形、正方形周长的计算的引入情境不同，但在具体计算方法上基本上都是按照“逐边累加”和“根据特征来计算”这样的顺序来呈现的。一些教材在习题中也编排了其他几何图形及不规则图形周长计算的问题，以帮助学生进一步深化和理解。

各版本教材在“圆的周长”部分的设计比较相似，基本上都包含“认识圆的周长”“用滚动法和绕线法测量圆的周长”“探索圆的周长与直径的关系”“介绍圆周率”“介绍周长公式”“解决实际问题”等。学习这些内容，要经历“创设情境、提出问题→实践探究、发现规律→总结规律、解决问题→应用巩固、练习提高”等环节，这些环节在教材中配有相应的学习栏目以提示教学线索。

在“圆的周长”导人部分，多数教材都选用“轮子”来引人，非常直观，也容易直接切入问题的本质―探究周长与直径的关系。个别教材情境呈现的是立体实物图片，与抽象的、平面的“圆”之间有差距，不容易帮助学生建立“圆的周长”的概念。

各版本教材主要用了操作归纳的方法来探索周长与直径之间的关系，即通过度量各种大小不同的圆的周长和直径等实践活动，在观察比较、猜想尝试、举例验证等基础上引导学生归纳出两者之间大概是3倍左右的函数关系。对于得到圆的周长的方法，各版本教材一致采用了实验的方法，即通过“绕线法”和“滚动法”测量圆的周长。各版本教材还提供了表格供学生记录测量所得的周长与直径的关系，并在探索活动后给出了圆周率的定义和圆周长的两个计算公式。

各版本教材都介绍了与圆周率研究进展有关的史料知识，涉及《周骸算经》中“周三径一”的记载，阿基米德、刘徽、祖冲之在圆周率发展过程中的贡献，以及现代计算机在研究圆周率中的成就。

3．面积的测量

小学阶段要求进行面积计算的图形有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆。

长方形、正方形的面积计算与“面积及面积单位”的学习是编排在一起的。教材一般采取两种引人方式：一是以情境引入求长方形的大小即面积，提示学生“用单位面积摆、铺”来进行探索；二是创设“用若干个单位面积来摆长方形”的活动，摆出长方形之后发现所使用的单位面积数量与长、宽的关系，进而推导出长方形面积的计算公式。

平行四边形的面积在面积的测量中处在一个比较特殊的位置，它是由“直接数面积”向“间接求面积”过渡的图形。多数教材通过创设情境引出平行四边形的面积问题，部分教材通过对情境中长方形、平行四边形面积的比较来引人新课。各版本教材都设计了探究的活动，但留给学生的探究空间各不相同。有的教材提出类似“长方形用长乘宽来求面积，平行四边形是不是用‘相邻两个边相乘’来计算面积”这样的问题引导学生进行思考，有的则直接提出“你能将这个平行四边形转化成长方形吗？”以此引人面积推导。

部分教材在面积测量中使用了格子图，但编排的位置和使用的目的不同。格子图是教材重视直接测量的体现，目的是让学生在“数一数”的过程中，进一步理解测量的本质、体会面积的含义等，同时通过直接测量来促进对间接测量方法和面积、体积计算公式的理解。有的教材通过格子图数出平行四边形的面积；有的通过格子图把长方形和平行四边形进行对比，帮助学生辨析“平行四边形是否可用两个相邻的边相乘求面积”，或帮助学生发现两个图形之间元素的对应关系；还有的教材直接在格子图上把平行四边形割补成长方形，以证明面积不变。对于平行四边形面积公式的推导，教材都呈现了转化的方法和过程。不同的是有的教材呈现了一种转化的方法（直角三角形＋直角梯形），有的呈现了两种转化的方法（直角三角形十直角梯形，直角梯形＋直角梯形）。不论教材如何编排，转化思想都是教材强调的思想方法，展现了将未知的知识向已有知识转化的思考过程。

各版本教材编排三角形与梯形面积的内容，也都以转化为线索，多数教材采用的是将两个完全相同的三角形或梯形拼摆成平行四边形的转化方法，部分教材对三角形面积推导的引人是在格子图中将不同的平行四边形沿对角线分开后，通过对比平行四边形与三角形面积来探索二者之间的关系；而对三角形和梯形，部分教材在编写了“拼摆”的方法之外，还设计了对三角形、梯形进行“割、补”的方法来推导面积计算公式。

圆的度量，无论是周长还是面积，在学生对平面图形的认识与探索过程中，都标志着“由直到曲”的跨越，更是数学思想从“有限”进人“无限”的跨越。目前，各版本教材圆的面积公式推导都采用“印度圆”的方法。除了对圆的面积“等分后插、拼”这个推导过程的详细编写外，有的教材在此之前还安排了一些与多边形面积学习相关的内容作为两次学习的衔接，如将圆放到格子图中，看是否能通过数格子的方法得到圆的面积，进一步帮助学生感受直线图形与曲线图形的区别。另外，有一个版本教材提及用圆内接正多边形的方法计算圆的面积的过程，随着圆内接正多边形的边数增多，越接近圆的面积，学生能直观地感受极限的思想。

（三）“立体图形的测量”教材分析

1．表面积的测量

长方体是最基本、最常见的立体图形，理解表面积的意义是学生探索、发现、掌握表面积计算方法的关键，其表面积的学习也是学生进行三维、二维转换的良好时机。长方体、正方体表面积一般都安排在五年级下学期，是在认识了长方体、正方体的基本特征之后进行学习的。教材一般都以“做一个长方体纸盒、包装箱需要多少纸板”这样的问题引人，在解决具体问题过程中，引导学生思考相对面的面积计算方法，合起来得出长方体表面积的数值。在这个过程中，多数教材用长方体的展开图辅助学生实现三维向二维的转化，个别教材没有提供长方体展开图，只用语言提示学生的思维过程。各版本教材都不再给出长方体表面积的计算公式，无论是文字表达还是字母表示，这符合《数学课程标准》对图形测量学习的整体要求，但部分教材结合问题中的数据给出了相应的求长方体表面积的综合算式。所有的教材都给出了表面积的定义―长方体或正方体6个面的总面积。正方体表面积的计算，教材多是通过直接提问“正方体的表面积应该怎样计算”或者请学生从长方体表面积计算方法上进行迁移的。

学生学习圆柱的表面积是建立在对圆柱特征的认识基础上的，其难点是圆柱侧面展开图的计算，这也是多数教材的切人点。教材都借助生活中的实物创设问题，如罐头的侧面商标纸的面积、做一个圆柱形纸筒需要的纸板面积等，引导学生想象、探索圆柱的侧面展开图如何计算，进而再研究表面积的计算方法。教材都提示了表面积计算的难点―侧面展开图与长方形长、宽的关系，所有的教材都提供了帮助学生想象、探索和思考的侧面展开图，有的还提供了整个圆柱体的展开图，

以此帮助学生推论出侧面积训算的方法。对于侧面积计算的方法，除了一个版本教材给出了“圆柱侧面积＝底面周长x高”及字母表达式外，其余各版本教材都没有侧面积或表面积计算表达式的编写。

2．体积的测量

长方体、正方体体积的内容无论怎样引人教学内容，各版本教材都设计了操作活动，继而让学生观察所摆的小正方体的个数与长方体长、宽、高的关系。这既是解决体积计算的具体方法，也是提示解决问题的思想方法。在动手操作的基础上，多数版本教材都直接给出了长方体体积计算的公式及字母表达式，个别版本教材由学生总结体积计算公式。对正方体的体积，各版本教材的编写比较相似，都是迁移长方体体积计算公式、结合正方体的特征来总结，多数教材都给出了文字和字母表示的公式。另外，对于长方体、正方体体积公式可以归纳为“底面积×高”，各版本教材均在正方体体积之后进行了专门的编排。

圆柱、圆锥的认识及测量都编排在六年级下册。因为长方体、圆柱的体积都是以三维直角坐标系为基础的，一般都是先计算出底面积的大小，然后与第三维的高进行乘法运算，从而得到物体在三维空间的体积，因此有的教材先出示等底、等高的长方体、正方体、圆柱，然后提出问题：长方体、正方体的体积都可以用“底面积x高”来计算，圆柱的体积怎样计算？以引导学生进行知识的迁移。有的教材则由现实的问题引人，在对圆柱体实物的比较中感受圆柱体积与底面大小及高的长短有关；也有教材直接提出“圆柱体积怎样计算”后就进人体积转化的环节。各版本教材都抓住圆柱体积计算方法和各知识点间的联系，紧扣“转化”思想方法进行编写，并提出了类似“拼成的长方体与原来的圆柱有什么关系？”这样的问题，引导学生体会转化过程中的变与不变。

关于圆锥的体积，教材不但都按照“猜想一实验一结论一应用”这样的思路进行编写，而且还从圆柱与圆锥体积之间的关系入手来引导学生探究圆锥体积的计算方法，另外，特别提示了“等底、等高”这一比较的前提。在实验操作环节，各版本教材都呈现了等底、等高的圆柱、圆锥容器各一个，及用沙子或水进行具体实验的过程。对实验结论即圆锥体积计算方法的编写，有的教材是用文字描述的方式，有的是直接给出公式，有的则是二者相辅助，并留给了学生思考、总结公式的空间。

另外，有部分教材在此部分编写了与体积相关的史料知识，涉及《九章算术》中对长方体、圆柱体积的发现，阿基米德的“圆柱容球”定理，以及阿基米德巧妙辨别纯金皇冠真伪的故事。