要点提示

“图形与几何”是小学数学课程四个领域之一，主要涉及空间和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。它是人们更好地认识和描述生活世界并进行交流的重要工具。《数学课程标准》中第一、第二学段“图形与几何”领域的具体课程内容被分为四个部分：“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”。“图形的认识”与“测量”都是对静态空间图形的认识；“图形的运动”是让小学生感知图形在运动和变化过程中的特征，“图形与位置”是让小学生从数量关系上理解图形的性质，它们都是对动态空间图形的认知。小学生通过对空间图形在静态和动态这两个层面上的认知，逐步建立空间观念，形成几何直观。

学习目标

1．理解（（数学课程标准》对“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”等内容的阐述。

2．理解教材中关于“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”等内容的编排。

3．能结合具体案例，分析《数学课程标准》中“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”等内容的本质，组织相关内容的教学。

 

第一节“图形的认识”内容与教材分析

“图形的认识”所包含的内容比较多，从一年级至六年级均有涉及，一般可以按照“点、线、面、体”的变化来整理这部分知识。但实际教学内容设置和年段安排基本上按照“三维→二维→一维→二维→三维”的顺序，这是尊重学生的心理发展规律、认识规律及图形间的内在联系的体现。

小学阶段涉及“线”的知识包括直线、射线、线段的认识及垂直、平行的认识；“平面图形”的认识主要包括角、正方形、长方形、平行四边形、梯形、三角形、圆、扇形等；“立体图形”包括长方体、正方体、圆柱、圆锥的认识。

一、《数学课程标准》对“图形的认识”的要求

（一）对“线的认识”的要求

认识线是进一步学习平面图形的基础，但与二维的平面图形、三维的立体图形相比较，线的认识、平行和相交关系认识等知识抽象程度更高，因此《数学课程标准》将“线的认识”内容均放在第二学段，具体内容要求如下。

课标摘要

（1）结合实例了解线段、射线和直线。

（2）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。

（3）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。

在这些要求中，有两点需要重点把握：首先是“结合实例”来认识线，这是符合学生认识事物的规律的。其次，尽管《数学课程标准》要求以“实例”作为学习线的起始，但射线和直线涉及无限的概念，在现实中没有“直线”的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。类似地，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实例揭示平行线的本质，但铁轨无法总是笔直地延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。因此“线的认识”内容处理要正确把握“实物”与“想象”之间的关系。

（二）对“平面图形的认识”的要求

1．第一学段第一学段主要包括三个方面的内容：简单的封闭图形的认识、角的初步认识、图形的分类，具体内容如下。

课标摘要

（1）能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（2）通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。

（3）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

（4）结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。

（5）能对简单几何体和图形进行分类。

要求（1）的重点是辨认，即学生能用自己的语言表达对图形的感受，能说出这些图形的不同特征。

要求（2）的重点是尽可能地为学生提供观察、操作的机会，让学生能用其自己的语言描述长方形、正方形的特征，而不是简单、机械地让学生模仿教师和书本上的语言，要鼓励学生用自己的语言把在观察、操作、探索中的体验表达出来。

要求（3）是新增内容，是从儿童“拼图”游戏中迁移过来的，目的是向学生提供发展几何直觉的学习素材。实施重点是让学生独立操作拼图，难点是对所拼的图形进行想象。

要求（4）（5）“图形的分类”是认识图形的核心。此阶段的要求是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想。

2．第二学段

第二学段的内容以认识平面图形的基本特征为主，内容的抽象程度已经比第一学段有了较大提高，但仍然是操作几何、实验几何的范畴，具体内容如下。

课标摘要

（1）知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

（2）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。

（3）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180。。

（4）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

本学段主要是从理性上进一步认识图形特征，认识图形之间的关系，认识的手段是实践、观察、操作，并能够应用图形特征解决简单的实际问题。

（三）对“立体图形的认识”的要求

1．第一学段

课标摘要

（1）能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。

（2）能对简单几何体和图形进行分类。

2．第二学段

课标摘要

通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

第一学段重点在于初步感知和辨认立体图形；第二学段强调通过“观察”“操作”，在做和思考的过程中更好地体验、感知立体图形的特征。

（四）对“观察物体”的要求

1．第一学段

课标摘要

能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。

第一学段的要求需要重点把握三点：一是将“具体事物、照片或直观图”作为观察的对象；二是“从不同角度”，包括前、后、左、右四个角度，这更容易帮助学生建立起对物体的整体印象；三是“简单物体”，更多的是指生活中的实际物体，而非抽象的几何体。

2．第二学段

课标摘要

能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。

第二学段的要求需要重点把握两点：一是对方向的要求。虽然与第一学段相比看似少了一个面，但实际上是对方向提出了更高的要求，“前面、侧面、上面”实际上是观察一个物体至少需要的几个维度，是“前、后、左、右、上、下”这六个方向的代表，也是画物体三视图的二个规定方向。二是“形状图”，即对“形状”的观察和描述，《数学课程标准》的示例给出的被观察图形是抽象的儿何体的代表，这与第一学段是完全不同的。

二、“图形的认识”教材分析

（一）“线的认识”教材分析

“线的认识”包括认识直线、射线、线段，认识两点间的距离，认识平行、垂直。

教材对直线、射线、线段的认识内容，大致有两种编排情况：一种情况是将“线的认识”的内容全部安排在第二学段，作为单元的起始课，后面安排“相交、平行”“角的认识”等相关知识；一种情况是将“线的认识”的内容安排在两个学段，在第一学段伴随着对长度单位的学习先认识线段，第二学段再进行射线、直线等的认识。

各版本教材对平行、垂直的内容编排差别比较大。有的教材将“垂直、平行”两个知识点分成两节课编排，有的则将两个知识点编排在同一节课中；有的教材以“同一平面内两条直线的位置关系”作为引人，有的则直接切人到“平行、垂直”两个知识点；有的教材从静态的角度揭示“垂直、平行”的现象，有的则从动态的角度，将“垂直、平行”与图形的运动联系在一起；有的教材先编写“垂直”再编写“平行”，有的教材则相反，因为二者并没有互为学习基础的内在关系。各版本教材均对“画一组平行线、一组垂线”的内容进行了编写，但对画图所使用的操作工具、难度起点、操作步骤等的编排都不尽相同，但总体而言都降低了对画图技能的要求。

严格地说，实际生活中并不存在数学上定义的“线段”。但是由于“线的认识”这一部分涉及的几个概念大多是原始概念或者基本概念，比较抽象，所以不仅教材中使用了一些生活中的例子，教学中教师也应注重引导学生感受线、垂直或平行等现象在生活中的应用，如“拉紧的一段线”“人行横道线”“电线杆之间的一段电线”等，以帮助学生完成从实物到几何图形的抽象，培养空间想象力。

（二）“平面图形的认识”教材分析

1．长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的认识

教材对长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的认识编排在两个部分。第一次为“初步认识图形”部分，其中各版本教材对平行四边形的初步认识编排并不相同，有的将其作为需要学生认识的基本图形之一呈现在教材中，有的则将其放在“七巧板游戏”等操作活动中让学生初步感知，有的则完全没有涉及。梯形在第一学段则不安排教学内容。

第二次编排在认识图形的基本特征部分，各版本教材涉及各个图形的基本特征大致相同。对于素材的选择，各版本教材基本上都采用生活实物加主题图并匹配相关问题的方式进行呈现。教材中都设计了大量观察、实验、操作等活动，既作为一种引入知识点的方式，也是对教学方式的一种提示。

2．角的认识

各版本教材第一学段“角的初步认识”均以生活情境引人教学，教材内容涉及角的顶点及边的写法，有的教材设计了制作角、比较角大小的活动，还有教材编排了认识直角、锐角及钝角的内容。各版本教材用来引人教学的具体情境均呈现了来自生活的素材，并且具有一定的相似性，几乎各版本教材都使用了剪刀、钟面上的时针与分针的夹角、三角板等素材。但对于角的各部分名称、读法和记法的学习，各版本教材的处理方式差别比较大。比如，有的教材只标注了“顶点、边”，有的教材还对角的读法、记法进行了示范。

第二学段“角的认识”基本上都编排在四年级上学期，主要是定义角并在角的度量基础上对角进行分类。各版本教材采用了丰富的方式引人了“角”，部分教材还格外关注动态变化的角，有利于学生探索角的本质特征，理解角的概念。

3．圆、扇形的认识

“圆的认识”涉及圆的各部分名称、画圆的方法、圆的特征等内容。对于“圆”这个图形的引人，各版本教材都注重联系学生的生活实际，并关注呈现圆的本质属性。而对“画圆”的处理，多数教材都先编写用除圆规以外的其他工具画圆，再呈现用圆规画圆。其中，用“一根绳子一支笔”画圆的方法出现在多数教材中。各版本教材都结合图示给出了圆心、半径、直径的概念，也有的教材对其进行了严格的定义；各版本教材都安排了探索的活动，让学生经历探索圆的特征的过程。

《数学课程标准》对扇形的要求定位为“知道”，所以只有部分教材将扇形内容作为一个知识点来编写，还有部分教材结合实例介绍了弧、圆心角等概念。

（三）“立体图形的认识”教材分析

各版本教材一年级上册通过“认一认”“分一分”“摸一摸”“连一连”“做一做”“搭一搭”等活动，使学生认识了长方体、正方体、圆柱、球这四个立体图形，直观感受各种立体图形的基本特征。以此为基础，学生在五、六年级进行立体图形特征的学习。

1．长方体、正方体特征的认识

长方体的认识在小学的几何教学中具有重要地位，在该内容中学生首次接触立体图形的具体特征，是学生从二维空间向三维空间过渡的阶段，多数教材将其安排在五年级下册，个别教材将其安排在六年级上册。

对长方体的概念，多数教材并没有给出明确的定义，更多的是引导学生在从面、棱、顶点等维度总结长方体特征的过程中感知长方体的本质属性。对正方体的概念，各版本教材也没给出明确的描述，而是将其融合在对正方体特征的学习中。对于长方体和正方体关系的揭示，教材有两种处理方式：一种是将长方体和正方体的联系与区别作为探究问题呈现在教材中；另一种是在认识了正方体的特征之后，直接给出二者关系的结论。多数教材中都明确给出了“正方体是特殊的长方体”或“正方体是长、宽、高都相等的长方体”的描述；多数教材还在此结论旁边用韦恩图来表示二者的关系。

《数学课程标准》明确提出了“认识长方体、正方体的展开图”的要求，但有一些版本的教材并没有编排认识长方体、正方体的展开图的内容。编排了此内容的教材，其具体呈现方式差别也比较大：有的教材只进行了正方体展开图的编排，将长方体展开图作为练习题；有的教材中长方体和正方体展开图的内容都出现了；有的教材将两者作为一个例题来呈现。

立体图形的学习，对一部分学生来说是思维上的一个跨越，学生要从二维过渡到三维，要面对更加抽象的图形，因此要重视对操作活动的设计。各版本教材都设计了动手操作的课堂活动，鼓励学生通过“做一做”“量一量”“剪一剪”等活动来探索图形的特征。各版本教材类似的操作活动都在两种以上，其中“量一量”长、宽、高的长度，把长方体或正方体沿着棱“剪一剪”，用小棒、橡皮泥、硬纸板等材料制作一个长方体或正方体的操作活动较多地被各版本教材选用。

2．圆柱、圆锥特征的认识

圆柱与圆锥的认识，部分教材采用集中的编写方式，这有利于对两种立体图形进行联系及对比；部分教材采用分开编写的方式，即在“圆柱的认识”之后学习圆柱的表面积及体积计算，然后再进行圆锥的认识及体积计算的学习。有利于学生对圆柱或圆锥形成更完整、更丰富的认识。

圆柱与圆锥的定义有多种表达方式，各版本教材编写时普遍采用的是由实物引出的描述式定义，个别教材采用了“点动成线、线动成面、面动成体”的编写思路，通过平面图形绕特定旋转轴旋转而生成的图形来定义立体图形。对于“面动成体”，有的教材虽然没有以定义圆柱、圆锥的方式来编写，但在习题中有所涉及，目的在于引导学生体会面与体的关系。

对圆柱、圆锥的各部分名称，各版本教材基本上采用了相同的方式，都是在实物图的基础上，在模型图上进行标注。各版本教材基本上都有对学生开展操作活动的提示，即学生需要通过“摸一摸”“看一看”“说一说”等动手、动脑的活动，自己得出对圆柱、圆锥基本特征的认识。

对圆柱的展开图，有的教材将其与接下来的表面积学习融合在一起，没有单独进行编写；有的教材则对圆柱的展开图进行了专门的设计；还有的教材在习题中有所提及。无论教材以何种方式来呈现圆柱的展开图，这都是学生发展空间观念、实现二维和三维灵活转换的重要素材，应成为教学的重要内容。

（四）“观察物体”教材分析

二年级到五年级均涉及“观察物体”的内容。各版本教材都是从对生活中具体实物的观察切人，有梯度地加大内容难度。因为《数学课程标准》要求“从不同角度”进行观察，所以教材中编写了对物体的三个面或四个面的观察。另外，多数版本教材中的观察对象除了一个物体外，还有两个实物的组合，部分教材有比较明显的与第二学段观察物体进行衔接和过渡的内容，出现了“有颜色的正方体纸盒”这样介于实物与抽象几何体之间的观察对象。

多数教材中的第二学段“观察物体”的内容集中在四年级；个别教材分两次编写，分别在四年级和六年级，在六年级除了基本的“观察物体”的内容之外，增加了“观察范围”及“不同观察位置导致观察结果的不同”等内容。各版本教材四年级“观察物体”的内容均以多个小正方体拼成的立体图形为观察对象，组成这些图形的小正方体的个数以4个为主。另外，教材还设计了观察、连线、画图等活动，以帮助学生获得正确的观察结果。