第四节 “式与方程、正反比例”内容与教材分析

小学阶段“代数初步”的内容包括式与方程和正、反比例，而式与方程中又包括字母表示数和方程两部分。从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数是又一次抽象。对于小学生来说，初步建立代数的思想具有一定的挑战性。在第一学段教学中应从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，并了解这种表示方法的作用；进而，初步体验符号在数学表示中的作用，初步建立符号意识。第二学段开始正式引人字母表示数和简易方程，这是学生数学学习的又一次抽象。《数学课程标准》对“代数初步”这方面的要求如下。

课标摘要

（1）在具体情境中能用字母表示数。

（2）结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

（3）能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5，2x－x=3),了解方程的作用。

（4）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

一、用字母表示数

用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，是形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念和学会各类运算的基础，具有重要的意义，并贯穿学习数与代数的始终。教材内容包括在具体情境中会用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示；以字母表示数为基础，研究代数式的概念与运算。

从字母表示的“数”这个对象来看，字母是数的化身，但从本质上看字母又不同于数。字母符号含有丰富的语言特性：它可以是已知数，也可以是未知数，也可以是变化的数；可以表示具体意义的数，也可以是一般意义的数。用字母表示数的策略可从以下两个方面思考。

第一，帮助学生建立对符号本身的正确认识。大部分学生对文字符号的认识处于比较低级的水平，仅将其作为一个未知的数或者一个特定的记号，鲜有学生能将符号看作推广的数或者变量，这种对符号本身认识上的误区直接造成了学生在使用和操作代数式上的困难。学生在生活和学习中，已经累积了一些关于字母表示数的经验，唤醒和提炼学生的经验，使学生认识到字母符号的多重含义，有助于学生形成对符号本身的正确认识。

第二，优化学生对用字母表示数的认识。虽然学生积累了一些关于用字母表示数的感性经验，但是不管是运算律还是公式，绝大部分学生仅将其作为一种固定的模式记忆，缺乏对用字母表示数的抽象过程的经历。因此，要让学生经历用字母表示数的过程，优化学生对用字母表示数的认识。在教学设计中，教师就要通过问题的引导，激发学生用字母表示数的需求，凸显用字母表示数时简洁、信息量大的优点，这样对问题所蕴涵的关系规律、取值范围的讨论会更加深人、透彻。在教材例题的教学中，要关注对用字母表示变化的数的把握，开始时学生的认识会集中在字母与字母表示“数”的层面上，要引导学生进一步理解如何用字母表示数量关系，即用代数式表示不变的关系。教材例题的设计意图就在于此，将学生的注意力集中在关系的表示上，引导学生进一步辨析代数式所表示的意义，使学生对代数式的认识不仅限于字母，而扩展到对整个代数式的结构和意义的把握。

二、方程

方程是小学阶段接触到的最为抽象的概念。在大多数的教材中，对方程的定义是：含有未知数的等式。但是，这种定义只是一种形式上的描述，这种形式上的描述不可能把握方程的本质。方程的本质是描述现实世界的等量关系。一般来说，在方程的教学中必须把握两条：列方程和解方程。无论是列方程还是解方程，都有其基本原则，在教学活动中应当让学生感悟这些基本原则，从而感悟方程的本质、感悟如何通过数学的形式表述现实生活中的数量关系，这对学生未来的学习和发展都是非常重要的。在第二学段中方程学习内容包括：方程的初步知识，能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5,2x－x=3)，了解方程的作用。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

长期以来，在小学阶段教学简易方程、方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，到了中学还需要重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。现在，根据《数学课程标准》的要求，从小学起就引人等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于中小学数学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。但小学阶段对方程和方程的解的概念以及有关解方程的依据和方法的认识只是初步的，尚未把握方程的实质，形成方程的系统理论。

引入简易方程的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型一是求和的关系（部分＋部分＝整体），二是求积的关系（每份数x份数＝总量），具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加、减、乘、除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。如：教室里原来有一些学生，后来又有进来两次学生，每次巧个人，现在教室里一共45个学生。原来教室里有多少个学生？用算术的方法，一定要列一个算术：45－15x2？而用方程来解这样的题，可以先用字母x表示原来教室里有人数。按照数量关系，可以列出方程：x＋15x2=45。后者是直接用部分＋部分＝总体的思路，x在这里和其他的数一起在解题过程中被运用。而前者是求和逆运算，是已知一个部分，求另一个部分。在解决较为复杂的问题时，方程与算术的方法有着明显的区别。

方程是含有未知数的等式。学习方程不仅是知道这个定义，更要会用方程解决问题，并且学会运用代数的方法思考问题，培养学生代数思维能力。方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2）转化（数学上通常叫化归）思想。因此方程在学习时有两个方面要加以重视：第一，方程刻画的是等量关系，用等号将相互等价的两件事情联系起来，同时，在刻画过程中，把未知数看成和已知数同等的地位。如人教版教材，从对天平平衡的理解过渡到对不等关系和相等关系的理解，让学生将已知数和未知数自然地联系起来并建立等量关系，从而体会方程的意义。第二，把方程看成是刻画现实世界中相等关系的重要模型。在学习中应使学生能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

方程中的等号是问题的核心。符号“=”的本质含义是：等号两边的量相等，因此方程的本质是描述现实世界中的等量关系。更具体地说，方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等，这就是列方程的基本原则。

三、正比例、反比例

正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分是函数思想在小学的体现。《数学课程标准》的要求如下。

课标摘要

（1）在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

（2）通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量

（3）会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。

（4）能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流

在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量。如果分别用x和y表示两个量，前者可以表示成，y=ax（a>0)；后者可以表示成y=a/x，或xy=a（a>0)。

正比例和反比例的关系本质上是函数关系，从教材中可以看出小学阶段并不出现函数的概念，而是让学生具体感知两个量之间的关系，如总价与数量、圆柱的底面积与高。一方面能使学生对数量关系的认识和理解更丰富，另一方面也为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用学生可以理解的具体方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系、两个量之间变化的规律的角度来理解和掌握这个内容。

学生在应用正比例、反比例解决问题的过程中往往存在着两个问题：一是体会不到达用正比例、反比例解决问题的优越性，认为还不如用算术方法简单；二是不会分辨是正比例还是反比例，在解题过程中生搬硬套，导致解题错误。所以在教学中要注意以下几方面。

第一，帮助学生理解变化的量及变量之间的关系。在正式学习正比例、反比例关系之前，可以设计学生感兴趣的日常生活或其他学科中的情境，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，以及变化之中的不变。例如：“小兰的身高是1.5米，她的影长是2.4米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长是4米，这棵树有多高？”在这一问题中，两个相关联的量是什么？显然是物体的高度和影子长。在找出两个相关联的量之后，再引导学生思考：这两个相关联的量是什么关系？它们是相乘关系还是相除关系？如果是这两种关系，那么它们是否乘积不变或者比值不变？有了这样几个步骤的深层思辨过程，学生感受到生活中存在着大量的变量，变量之间总是这样或者那样地联系着，相依变化着；体验变量之间的关系。

第二，加强正比例、反比例解决问题中对“变”的关注。正比例、反比例反映的都是两种量之间存在的一种关系，是一种变化关系，在变化中又存在着某种不变。因此，正比例、反比例的概念有两个值得关注的地方，一是关注“变化”，二是关注“不变”。在比例的概念中有四个数值，用比例解决问题本质上就是通过已知的三个数值去求出未知的第四个数值。

第三，运用图像理解正比例、反比例。学生对正比例、反比例的学习，就是从简单的数量关系过渡到对“变化关系”的认识和学习。与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是新的要求，教材中也出现了正比例及反比例的图像，正比例图像是要求学习的内容，反比例图像只在“你知道吗”栏目中进行了解。教材对正比例图像的要求是“看”“描”“体会”三个层次，可采用如下教学环节：（1）出示直角坐标系，横轴表示x变量，纵轴表示y变量；（2）根据表格数据描出各点，连接成直线；（3）观察直线上点的特征，概括“x越大，y也随着变大”;（4）根据直线，已知一个点的横坐标（纵坐标），判断这个点的纵坐标（横坐标）。这样的教学过程能使学生从图像上体会正比例两个变量的关系。

第四，在教学中渗透函数思想。正比例、反比例关系是集中渗透函数思想的教学内容。对正比例、反比例意义的学习是对变化、模式的一次集中探索，在这部分内容的学习中，以表格和图像的形式呈现了多种不同的变化规律，既有正变化和逆变化，也涉及加速变化。对变化、模式的初步认识使学生对变量之间的相互影响获得了很多直观感受，可以很好地渗透函数思想，促进中小学衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。