第三节 “分数的认识与运算”内容与教材分析

分数是数的概念的一次重要扩展，与学习整数相比，分数的学习对于学生而言要困难得多。分数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与自然数有较大的不同。分数有两个含义，一是表示部分与整体的关系，是一个比率，也是教学中的重点。比如，把一个月饼等分为5份，那么其中的一份是1/5，两份是2/5。分数是一种无量纲的数。也就是说，无论是一块月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的1/5就是一个分数单位，而2/5表示的是两个分数单位：2/5＝2x1/5＝1/5＋1/5。分数的另一个含义是表示一个具体的量，如1/3米，1/3千克等。

分数的使用一般源于两种需要：一是在对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，这需要有刻画“部分”的方式、方法；二是在2'3等无法用自然数表示的计算中，需要有刻画这类除法运算结构的方式、方法。分数有两个作用：一是作为有理数和运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参加运算；二是以比例的形式出现的数。最重要的分数是真分数，它代表一件事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如盘子大小1/2的代表的实际意义，与足球场大小的1/2代表的实际意义是不同的，但在讨论分数时是等价的。

分数的本质在于它的无量纲性，即用分数表示部分与整体的关系时，不需要考虑物体的形状、大小，只看把这个物体或整体平均分成了几份，要表示这样的几份，分母、分子就对应的是几。分数的无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。

小学阶段分数作为一个核心概念与很多内容有联系，整数可以看成分母是1的分数，小数是分数的另一种表达形式，百分数是特殊的分数，比和除法分别是理解分数意义的两个重要维度，一般情况下概率用分数来表示。

一、分数的认识

分数的意义是多层次的，可以从两个基本维度和四个具体方面进行理解，两个维度一个是比，一个是数；四个具体方面是比率、度量、运作、商。

第一，“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系，其中部分与整体的关系更多地体现在真分数的含义中。例如，一个圆平均分成4份，每一份是整体的1/4。又如，一个长方形面积是整个长方形的1/3，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这里的1/4和1/3所反映的就是部分与整体之间的关系。部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。例如，小红有5个苹果，小丽有3个苹果小红的苹果是小丽的5/3倍。对比率维度的理解，可以帮助学生正确认识分数的基本性质以及通分、约分等相关知识。

第二，“度量”将分数理解为分数单位的累积。例如，3/4里面有3个1/4，就4是用分数1/4作为单位度量3次的结果。数起源于数，量起源于量。自然数主要用于“数”个数，即离散量的个数。当测量连续量（如物体的长度）时，需要先选定度量单位，数出被测物体中包含多少个度量单位，不能数尽时，为了得到更准确的值，把原来的度量单位分割为更小的度量单位（平均分为10等份，以其中1份作为新的度量单位）。

第三，“运作”主要是指将对分数的认识转化为运算的过程。例如，想知道‘6张纸的2/3是多少张纸，学生将理解为整体6张纸的2/3，即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，列出算式就是6÷3×2，也就是6×2/3。

第四，“商”主要是指将分数转化为除法之后的运算结果，它使学生对分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。分数的认识分散安排在两个学段，第一学段是“分数的初步认识”，第二学段是“分数的再认识”，也就是分数的意义。

（一）分数的初步认识

从教材来看，“分数的初步认识”包括三个方面：（1）单位“1”由一个物体组成；（2）对分数的定义，只用描述性的定义，不进行概括、抽象；（3）比较两个同分母分数的大小；（4）不研究假分数的含义。

教材注重通过教学情境引人分数，让学生体会到学习分数的必要性，这样才能够引起学生的充分注意，引发学生的学习兴趣。在教学中，不但要强调“平均分”，还要强调它是一个“数”。分数的初步认识通常用面积的“部分一整体”模型来进行学习，在教材中通过引人“平均分一个圆”的情境，取其中的一份或几份（涂阴影）来表示分数。因此在用面积模型解决“用分数表示图形的大小”时，要让学生理解必须先等分，知道共分几份，也要知道表示几份。

（二）分数的再认识

“分数的再认识”是在“分数的初步认识”的基础上，进一步理解分数的意义，建立分数单位的概念。该部分重点是让学生理解单位“1”的含义，当单位1是离散量时，学生容易出现理解上的问题，同时也要让学生体会整体与部分的关系，感受分数的无量纲性。

从教材可以看出，分数的再认识教学重点有两个方面：一是让学生理解并掌握把一个整体（单位“1”）平均分成若干份，表示其中一份或几份可以用分数表示，也就是对分数意义的理解；二是结合具体情境让学生在理解分数意义的基础上体会分数对应的整体不同，所表示的具体数量也不相同，体会“整体”与“部分”的关系，感受分数的相对性。

在分数的意义中，分数单位很重要。利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5＋2/5=3/5；这个运算表示的是：一个分数单位加上两个分数单位等于三个分数单位。对于分母不同的分数的大小比较、加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分，比如，对分了5份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的1/10，即1/5×1/2=1/10。原来单位与新单位的关系是1/5=2/10，原来单位的两份等价于新单位的四份：2/5=2×1/5=2×2/10=4/10。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变；分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数比较，进而得到一般的异分母分数的加法运算法则。

小学阶段分数的学习要借助多种直观模型理解分数，较为重要的有三种模型，一是区域或面积模型，二是长度或测量模型，三是群组模型。

（1）区域或面积模型，也就是用面积的“部分一整体”表示分数。儿童最早是通过“部分一整体”来认识分数的，因此在教材中分数概念的引人是通过平均分某个正方形或者圆，取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数的，这些直观模型即为分数的面积模型。

（2）长度或测量模型，也就是用长度代替面积。这里包括数线模型。长度模型与分数的面积模型相联系：一个分数可以表示单位而积的一部分，也可以表示单位长度的一部分，前者二维是平面的，后者一维是线性的，而数线模型是用点来刻画分数的。

（3）群组模型：在群组模型中，把一个集合的物体看成整体，整体中部分群组就产生了分数的部分。群组模型的核心是把多个看作整体1，优点是有利于用比较抽象的数值形式表示比与百分比。

二、分数运算

《数学课程标准》在第一、第二学段规定的分数运算包括如下内容。

课标摘要

第一学段：会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算。

第二学段：能进行简单的分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）

分数运算比整数运算更复杂，运算的难易程度与参与运算的数的单位有关，而分数运算由于分数单位的不确定性，复杂程度提高。必要的时候要进行通分和约分。第一学段分数的运算比较简单，分数仅限在同分母分数的加减法，并且分母不超过10。重点是让学生体会分数加减法的意义，了解分数加减法与整数加减法的差异，帮助学生理解分数的意义。第二学段分数的运算相对要求比较高，不仅要学习分数加、减、乘、除四则运算，并巨要进行必要的混合运算。

（一）分数加减法

分数的加减法是在学生掌握了整数、小数加减法的意义及其计算方法，分数的意义和性质，以及同分母分数加减法的基础上进行教学的，是数学运算的重要基础知识之一。能否熟练掌握分数加减法的计算方法是评价学生是否拥有良好的计算能力和数感的一个重要标准。在小学数学教材中，第一学段学习了分数的初步认识，并通过实际的生活情境学习了同分母分数（分母小于10）的加减法，让学生初步探究了分数加减法的算理，认识到只有分母相同才能直接相加减。而第二学段在理解了分数的意义，掌握了分数的基本性质后又安排了分数的加法和减法这一单元。它包括三项内容，即同分母分数加减法、异分母分数加减法、分数加减混合运算。同分母分数加减法仍以具体的生活情境呈现，便于学生回顾已有知识，进一步感受分数单位相同才能相加减的算理。与第一学段不同的是，随着学生认识的提高，教材由直观形象感知逐步过渡到抽象计算，加强了分数加减含义与整数加减含义的联系，强调了计算结果的简化，概括出同分母分数加减法的计算法则。异分母分数加减法是同分母分数加减法法则的提升和延伸，它的依据依然是分数单位相同才能相加减这一算理，只不过在计算时要将异分母分数转化成同分母分数的运算，实质上学生要完成两件事：一是统一单位；二是分子的整数运算。

为使学生理解“分数单位相同才能相加减”的算理，教材以学生的日常生活为背景，引导学生在实际情境中学习分数加减运算。根据《数学课程标准》“结合具体情境，体会四则运算的意义”的要求，教材淡化了分数加减法意义的教学，利用类推说出分数加减的含义。同分母分数加减法与整数加减法的法则是一致的。异分母分数加减法最重要的是转化成同分母分数加减法。因此在教学中要关注以下两个方面的策略。

第一，引导学生认识分数加减法与整数加减法的内在联系。分数加减法的含义与整数加减法的含义是完全相同的。它们的计算方法从表面上看截然不同，但实质上有一个共同的特点，就是“相同单位的数才能相加减”。从这个意义上来讲，不论是整数还是分数的加减法，都要统一单位后才能进行。当分数的单位统一后，分数的加减运算也就归结为整数的加减了。

第二，注重对算理的分析，以算理引人算法．抽象概括出分数加减法的一般计算方法，是教学的重点。要做好这一过程的教学，必须处理好算理与算法，单纯记忆与发展思维之间的关系。教学时，应通过观察、思考、说理、交流等活动，让学生经历用算理引人算法的重要过程。使学生明白：（1）计算同分母分数加减时，“分母不变”是因为分母相同，也就是分数单位相同，所以只用分子进行加、减；（2）计算异分母分数加减时，只要将异分母分数转化为同分母分数就可以了。这样教学，不但使学生明白算理是算法的灵魂，而且避免了机械用法、单纯记忆的弊端，达到“明理驭法”的目的。

（二）分数乘法

分数乘法一般分三个层次进行教学，第一个层次学习分数乘整数，在整数乘法和分数加法的基础上学习。第二个层次学习分数乘分数，在理解分数乘法意义的基础上，通过操作去理解和学习。经过这两个层次的学习，学生能够理解并掌握分数相乘的计算方法。第三个层次学习混合运算，使学生理解整数相乘运算定律与运算顺序对分数运算同样适用，并会运用乘法运算定律进行分数的简便计算。分数乘法计算方法比较简单，算法也比较直观，但要说明算理并不容易，所谓说明也就是要说明分数相乘为什么以分子、分母分别相乘的结果作为积的分子与分母。

对于分数乘法，无论是分数乘以整数，还是整数乘以分数，实质上都是分子的整数运算。对于分数乘以分数，我们先教学“两个分数单位相乘”，再教学“一般的两个分数相乘”。而“两个分数单位相乘”实质上也是在统一分数单位后，两个分子相乘。

分数乘分数的算理较难理解，所以要通过直观操作，帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决求一个数的几分之一的问题，再解决求一个数的几分之几是多少的问题。理解算理最好的策略是采用面积模型，在此基础上以学生讨论的形式得出分数乘分数的计算方法。

（三）分数除法

关于分数除法的研究很多，因为分数除法的确是学生学习的一个难点内容。之所以难不是学生记不住法则、不会按法则算，而是算理理解起来比较困难。这是因为：分数除法实现了除法向乘法的转化。由于分数除法运算需要颠倒相乘，使除法不再是一种独立的运算。研究表明，虽然颠倒相乘是教学中常用的方法，并且记住如何进行分数除法运算也很容易，但学生在很长时间里还是不能理解为什么要颠倒相乘。在小学阶段，分数除法的编排顺序是：首先认识倒数，然后掌握分数除法计算。对于分数除法的计算，教材安排了分数除以整数、整数除以分数以及分数除以分数三类，内容由易到难、由简单到复杂，逐步提升。其实分数除法计算方法的研究思路，与分数的加减法法则的研究思路相同，即先研究同分母分数相除，再研究异分母分数相除。在同分母分数除法中，由于分数单位相同，所以只要把分子相除即可；在异分母分数除法中，先通分，转化为同分母分数；然后再分子相除，在分子相除不能得到整数的商时，可以根据分数与除法的关系，把商写成分数的形式；最后，比较原来的算式、计算过程及结果，就可以得出：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

分数除法的计算方法也并不复杂，只要颠倒相乘就可以，但要说明为什么颠倒相乘。一般的教材都是用一个实际问题来说明算理的，由一个实际问题一步一步引导学生得出计算的法则。