第三节数学课程的内容结构分析

本节对数学课程内容的总体结构，以及“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的基本主线与核心内容进行分析，在后面的相关章节将对各部分内容进行详细分析。

一、数学课程内容的总体结构

《数学课程标准》包括义务教育阶段1~9年级的内容。《数学课程标准》的目标和整个内容结构是以1~9年级的学生特点为依据的。1~9年级分为三个学段，每个学段都包括四个领域的内容，即数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。小学1~3、4~6年级分别对应第一、第二学段的内容。

课标摘要

“数与代数”的主要内容有：数的认识、数的表示、数的大小、数的运算、数量的估计；用字母表示数、代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。有关代数的内容小学阶段只包括用字母表示数和简易方程。

“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。（小学阶段不涉及有关定理与性质的证明。）

“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。小学阶段不包括中位数和众数等内容。

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。

二、“数与代数”内容总体分析

“数与代数”是小学数学内容中所占比例最多的内容，也是小学阶段学生学习数学最重要的内容。这部分内容分散在小学的各学段和各年级，了解“数与代数”内容的结构特点，对于全面理解和掌握小学数学内容、设计和实施小学数学教学至关重要。

（一）“数与代数”的内容结构数与代数在第一学段和第二学段内容的基本结构相似，但具体的内容模块有所不同。“数的认识”“数的运算”“探索规律”在两个学段相同，第一学段还有“常见的量”，第二学段有“式与方程”和“正、反比例”的内容。具体的内容结构和分布见下表，表中的数字是《数学课程标准》对该部分内容要求的条目数。

                                         

学段	数的认识	数的运算	常见的量	式与方程	正反比例	探索规律
一	7	8	5	0	0	1
二	8	10	0	4	4	1

这些条目数并不是简单学习内容数量的多和少，每条所包含的学习内容的容量有很大差别，特别是不同类型内容所包含的数量差别更大。以第一学段的内容为例，在“数的认识”中要求：“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。”“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。”这两条中所包含的内容，在实际教学中分散在几个年级若干单元中。几乎包括所有的整数认识的内容，从1年级到3年级至少通过10以内数的认识、20以内数的认识、百以内数的认识和万以内数的认识等阶段来完成。而数的运算也分为10以内加减法、20以内加减法、乘法口诀、用口诀求商、百以内的加减法、一位数乘法、一位数除法等单元。所以，单纯从条目的数量上看各内容的容量是没有意义的。重点是应该了解这些内容的结构，以及在不同学段的要求。

两个学段同类内容的安排是螺旋上升的，第二学段安排的内容类别比第一学段多，具体的要求也有提高，同样的内容在更高一阶段重复出现，但是表现形式和具体要求不同。比如，数的认识，在第一学段和第二学段都有小数和分数的内容，在第一学段是初步认识，第二学段是认识小数和分数的意义。

（二）“数与代数”的主线与核心内容

在“数与代数”的内容中，有三条基本的主线，即数的认识、数的运算、数量关系。我们可以从这三条基本主线中理解“数与代数”的核心内容。

1．数的认识

小学阶段数的认识包括整数、分数、小数和负数。数的认识贯穿小学数学教学的始终。整数是学习数的开始，是学生学习数学的开端，也是后来认识其他数的基础。因此，整数认识是小学数学的重要基础，也可以说是重中之重。小数和分数是在整数基础上，为满足人们对现实世界数量的表示而扩展的数的概念。从整数到分数是数的第一次扩充，两个整数的比就是分数。“分数的本质在于真分数”是表示“整体与等分的关系”,“通过等分得至”分数单位”，如1/2和1/5都是分数单位。一个分数就表示成多少个这样的分数单位。小数是特殊的分数，是分母可以写成10的倍数的分数，如3/10、35/100，因此小数可以用十进制的方式表示，3/10可以定成0.3，35/100可以写成0.35。负数在小学阶段只是简单介绍，学生只了解现实中有相反意义的量，可以用负数表示与正数相反意义的量。

“数的认识”的重点是理解数的意义和数的表示，这也是形成数感的重要标志。理解数的意义关键是理解数量和数。数是数量的抽象，现实中我们只能对数量有具体的感知，三个人、三棵树、三匹马，都是数量，抽象为数就是3；把一个饼平均分成4份，每一份是四分之一个饼。四分之一个饼是数量，1/4是表示这个数量的数，叫分数。由数量抽象为数，就可以用数表示具有相同意义的数量。所以，数是数量的抽象。

数的表示对于理解数概念是重要的。整数是以十进制计数法来表示不同数值的数，用0-9这10个数字，以不同数位表示不同的数值，这样的方法可以表示任意大的数。对于整数，理解数位与数位上的值对于数的表示非常重要。小数在表现形式上也与整数是一致的，都是十进制。分数的表示重点在于理解分数单位，真分数是大于0小于1的数，是一个分数单位的倍数，带分数或假分数是一个整数与一个真分数相加的和。

从上面分析可以认为，对于数的意义和数的表示的理解是数的认识的核心内容。

2．数的运算

数的运算一直是小学数学课程中内容多、任务重、难学习的内容。数的运算包括加、减、乘、除四种基本运算，整数、分数、小数都需要掌握这四种运算。而数的大小、数的不同种类的组合影响数的运算的复杂程度。数的运算主要涉及算理与算法，运算律与运算顺序，精算、估算与近似计算等问题。

算理与算法是数的运算的核心。无论哪一种运算，理解算理和掌握算法都是教学的重点。算理是进行一种运算的基本原理，算法是运算过程中运用的具体的操作方法。学习运算首先要理解算理，算理又与具体运算的性质和参与运算的数的本质有关，所以要使学生从运算的性质和数的意义中理解算理。

比如，理解15—9=？的算理：减法是整体与部分的关系，从整体等于部分与部分的和。已知整体和其中的一部分，求另一部分，就是减法。换句话说，加法和减法存在逆运算的关系。所以，这里可用“看减法，想加法”这样的方法。根据加减之间的逆运算关系，因为9+6＝15，所以15—9=6也可以从数的意义来理解算理，15=10+5（十位上的1表示10),10—9=1,1+5=6。这里加减的逆运算关系和数的表示是理解算理的基础。而“看减法，想加法”，分解被减数15后就是算法。

比如，理解小数除法7.65（米）、0.85（米）的算理时，一般有以下两种方法：一是把题中以米为单位改写成以厘米为单位再进行计算，7.65（米）、0.85（米），转化为765（厘米）—85（厘米）。二是根据商不变的性质，除数扩大100倍得85，被除数也扩大100倍得765，再按除数是整数的除法法则进行计算。其实也可以从小数的意义出发理解算理，7.65是765个0.01,0.85是85个0.01，求7.65—0.85就是求765—85。这样理解和整数除法的算理是一致的。

在理解算理的基础上，掌握小数除法首先把小数转换成整数，再按整数除法的方法进行计算，就是具体的算法。

运算律和运算顺序。小学阶段涉及加法和乘法的五大运算定律，运算律的学习一般是用归纳的方法让学生理解运算的规律。运算顺序涉及加减与乘除运算的先后顺序，以及在运算时运用括号改变运算顺序。运算顺序的教学要与具体的问题情境结合，在解决具体问题时需要考虑先算什么后算什么，以及是否需要改变运算顺序。

精算、估算与近似计算。上面说的运算都是指精算，精算是对数的运算，是根据一个具体的问题列出算式，或者只对一个需要计算的问题进行计算。这时的计算一般不考虑实际背景，是在抽象的数的意义上的运算。而估算是对具体实际背景的数量的计算，整体估算的过程都要考虑参与运算的数量和数量运算中的实际意义。《数学课程标准》在第一、第二学段分别提出估算的要求，分别是“选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”和“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”。选择合适的单位是要符合实际背景的需要，选择合适的方法是为了确保估算的结果符合逻辑。

3．数量关系

小学数学中有两类重要的数量关系，或数学模型。一类是总量模型，就是：总量二部分量＋部分量。总量模型反映的是总量与部分量之间的关系，对应的是加法和减法运算。另一类路程模型，就是：距离二速度x时间。路程模型中的数量关系对应的是乘法或除法运算。在（（数学课程标准冷中第二学段明确提出：“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价＝单价x数量、路程＝速度x时间，并能解决简单的实际问题。”这是对运用数学模型解决问题的明确要求。而总量模型虽然没有单独提出来，但在学习加法和减法时都蕴涵了这样的数量关系。

三、“图形与几何”内容总体分析

“图形与几何”这个领域在小学阶段是认识图形和形成空间观念的重要途径。“图形与几何”是数学学科必不可少的重要内容。小学阶段所涉及的内容是最基本的几何图形，也是几何中重要的内容。通过认识图形和形成空间观念，使学生从空间与图形的角度认识世界、认识数学，为进一步学习数学知识打基础。

（一）“图形与几何”的内容结构

“图形与几何”领域的内容在第一学段和第二学段都包括图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置四个部分的内容。

第一学段“图形的认识”以平面图形为主，这些内容主要包括角的认识，长方形、正方形的认识。当然也有“辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”的要求，但这只是直观地辨认，是从先认识立体图形，再认识平面图形这样的顺序要求的。而正式认识立体图形还是在第二学段。“测量”主要是与平面图形有关的长度和面积的测量与计算，包括长度单位、面积单位的认识，长方形和正方形面积的计算等。“图形的运动”包括初步认识平移和旋转。“图形与位置”主要是认识方向。可以看出，第一学段“图形与几何”的内容以平面图形为主，涉及的内容是比较简单和初步的。

第二学段的内容在结构上与第一学段一致，包括“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”四个部分，但在要求上有很大不同。在第二学段进一步学习三角形、平行四边形、梯形和圆等平面图形，并正式学习圆柱体、圆锥体和球等立体图形。在“测量”部分除进一步学习图形的面积外，还包括与立体图形有关的体积单位和立体图形体积、容积的计算。在“图形的运动”部分进一步学习平移与旋转，并重点认识轴对称图形，运用平移和旋转解决问题。“图形与位置”包括了解比例尺和根据方向与距离确定位置，以及会描述简单的路线图等内容。

（二）“图形与几何”的主线与核心内容

在“图形与几何”内容中，有四条基本的主线，即“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”。我们可以从对这四条基本主线中理解“图形与几何”的核心内容。

1．图形的认识

“图形的认识”是小学图形与几何内容的核心内容，认识图形是学习图形与几何的重点，也是学习其他内容的基础。“测量”是为了从数量上认识图形；“图形的运动”是为了进一步认识图形特征以及图形之间的关系；“图形与位置”是为了进一步认识和运用图形解决问题。

“图形的认识”包括线的认识、角的认识、平面图形的认识、立体图形的认识。在这几个方面的内容中，平面图形的认识占的比例最大，也是小学阶段图形认识的重点。图形的认识包括两个层次的要求―了解与理解：“了解”是较低层次的要求，同类的要求有“知道”“初步认识”等，如“了解直角”“知道周角与平角”。“理解”是较高水平的要求，同类的要求有“认识”“会”等，如“认识平行四边形、梯形”。“图形的认识”的难点在于认识图形的特征，了解图形之间的关系等。

2．测量

测量是用数量刻画图形。主要内容是学习图形的周长、面积和体积。测量内容的重点有两个方面：一是认识测量单位，二是掌握基本图形周长、面积或体积的测量方法或公式。“测量单位的认识”中要通过丰富的活动使学生了解建立测量单位的重要性，认识统一测量单位的方法和基本的测量单位。这既是完成测量目标所必需的，也有助于学生建立数感和空间观念。

3．图形的运动

“图形的运动”主要包括图形的平移、旋转，以及对轴对称图形的认识。小学阶段对于图形变换的认识是初步的，通过简单平移和旋转使学生从运动变化的角度来认识图形，进而可以欣赏和设计图形。

4．图形与位置

“图形与位置”的内容包括确定物体的相对位置、辨认方向、描述简单的路线图，以及认识有序数对和点的对应关系。这部分内容的认识对于学生建立空间观念非常重要，同时也初步了解直角坐标系，了解数对与点的对应关系，进而理解数与形的结合。

四、“统计与概率”内容总体分析

“统计与概率”领域在小学阶段涉及内容不多，但对于学生了解数学与现实的关系、解决实际问题、形成数据分析观念非常重要。小学阶段所涉及的“统计与概率”内容是最基本统计量和最简单的可能性问题。通过“统计与概率”内容的学习，学生了解数据的收集、整理与呈现的过程，认识数据中所蕴涵的信息，初步形成根据数据进行判断和预测的能力。

（一）“统计与概率”的内容结构“统计与概率”领域涉及两个方面的内容：一是初步的数据统计，二是随机现象发生的可能性。在《数学课程标准》冷中加强了数据统计的内容，减少了可能性的内容。

第一学段主要是初步的数据统计内容，重点是理解分类和收集数据的过程，主要目的在于让学生经历和体验数据收集和整理的过程，了解收集数据的基本方法。教学中要为学生提供收集和整理数据的机会，让学生了解为什么要收集数据，怎样收集数据，用什么样的方法整理和呈现数据。

第二学段主要是整理数据，学会用统计表和统计图来呈现数据，了解平均数是用来分析数据的重要的统计量。第二学段开始接触简单的随机现象。虽然关于随机现象结果发生的可能性的问题要求不多，也比较简单，但这是学生了解不确定现象和可能性的开始，是小学阶段唯一认识不确定现象的内容，这对学生全面了解数学，从不同角度认识现实世界，以及今后进一步学习都很重要。

（二）“统计与概率”的主线与核心内容“统计与概率”内容有两条基本的主线：一是简单数据的统计过程，二是简单的随机现象发生的可能性。

1．简单数据的统计过程

简单数据的统计过程在两个学段都会涉及，重点是以下两个方面的内容：一是数据收集、整理、描述、分析的过程，二是简单统计图表的设计与理解。数据的收集、整理和呈现过程体现在整个小学数学学习过程之中。教学中要通过具体的情境和现实问题使学生了解和体验数据的收集和整理过程。如调查同学喜欢的水果，了解班级同学的身高等。简单统计图形在第一学段就有涉及，但是以直观的方式出现的。第二学段要求较为系统地认识统计图形的制作，以及用统计图表认识数据的特征，并进行简单的预测。主要学习的统计图有条形统计图、折线统计图。扇形统计图只要求学生有初步的了解。

平均数是重要的统计量，也是小学阶段学习的唯一的一种统计量。教学中应通过学生熟悉的情境，了解平均数的意义，理解平均数在描述一组数据中的作用。

2．简单的随机现象发生的可能性

关于随机现象发生的可能性，在《数学课程标准》第二学段中进行了规定：一是感受简单的现象，就是使学生了解现实中有些现象是确定的，有些是不确定的，不确定现象具有随机性，一些随机现象可以列出其发生的可能结果。二是感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，一些结果的可能性大，一些结果的可能性小。根据随机现象的特征可以判断随机现象结果可能性的大小。对于可能性大小的判断是对其性质的判断，不要求列出可能结果的具体数量。

五、“综合与实践”内容总体分析

“综合与实践”领域与其他三个领域的内容有所不同，在“综合与实践”中没有专门的知识与技能，它重点关注学生综合运用所学的知识、技能与方法解决问题的过程，在参与实践活动中经历发现问题和提出问题的过程，积累分析与解决问题的经验。

（一）“综合与实践”的内容特征

“综合与实践”这部分内容重点是通过选择具体的问题情境，设计有意义的实践活动，引导学生在具体的情境中发现问题和提出问题，综合运用所学的知识与方法分析问题和解决问题。重点体现两个方面：一是选择和设计有意义的问题情境。这些情境可以是学生生活熟悉的内容，也可以是有意义的社会问题。如《数学课程标准》中设计了若干典型的问题情境，包括上学时间问题，设计旅游方案问题等。二是组织有效的活动。“综合与实践”重要的是要学生参与到具体的活动之中，在实践活动中体会知识和方法的运用，提高分析和解决问题的能力，进而达到积累活动经验的目的。

以《数学课程标准》中的上学时间问题为例：“让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。”这个活动提供的问题情境是与学生生活密切相关的，每一个学生都可以参与，并且可以在班上讨论交流。在活动中，学生可以发现和提出自己感兴趣的问题。如班上同学用时最长的和最短的，班上在哪个时间段的同学最多，怎样把上学途中所用时间分组，自己所用的时间是多的还是少的。在具体的教学中，可以组织学生参与调查和整理的全过程，以小组的形式进行讨论和交流，再展示调查的结果，分享每一小组的过程和结果。活动结束后，还可以进一步提出问题，进行不同类型的活动。

（二）“综合与实践”的组织形式

综合与实践活动形式多样，可以学生独立完成，也可以小组和全班共同完成。可以根据具体问题的需要和不同学段和年级学生的特点，设计和组织有针对性的活动。具体的活动包括数学小调查、小课题研究、动手做的活动、数学小游戏等。