第三节 数学核心素养培养的案例解析

本节从教材、教学设计和教学实录中选取一些案例，分析其中包含的核心素养，以及如何在这些内容的教学中体现数学的核心素养。

一、教材中的案例

教材是课程的载体，也是教师设计与组织教学的重要依据，数学教材的编写应体现《数学课程标准》对相应内容的要求。分析教材中内容的呈现方式及其体现的教学方法，可以从中体会蕴涵的数学核心素养，并了解如何运用这些资源培养学生的核心素养。

案例：20以内的退位减法（如图）

                           

人教版一年级下册“十几减九”

用一个具体的情境，引人十几减9的运算，列出算式15一9＝口。接下来要使学生理解怎样计算20以内的退位减法。学生已经学习了进位加法和不退位减法，在此基础上，进行十几减9的运算，是对学生运算能力的一个提升。运算能力的重点在于使学生理解算理，教材呈现了两种运算方式，需要在教学中使学生弄清这两种方式的算理。第一种方式，是将巧分成10和5，先算10－9=1,1+5=6，所以15－9=6。在教学中需要重点说明的是，15分成10和5，是因为15的十位是1，十位上的1表示10，所以15可以分成10和5。这个过程又与整数的计数法相关，是在学生初步理解十进制，知道十位上的1表示10的基础之上进行的。在理解算理的过程中，学生也进一步提升了对整数的认识，加强了数感。

第二种方式是利用加减法互为逆运算的关系实现的。在让学生体会这种运算方式时，重点是理解“看减法，想加法”。体会因为9＋6＝15，所以15－9=6。而看到15－9＝口这样的问题时，引导学生想：9+？＝15。这个过程基于加减法互为逆运算的算理。当然，在具体的教学中，不会向学生说出“逆运算”这样的词。在上述的说理过程中，既加强学生对算理的理解，同时也训练学生的推理能力。

本案例涉及的核心素养主要是运算能力，与数感、推理能力等也有一定的关联。可见一个案例中可能以一种核心素养为主，也可能涉及与之相关的核心素养。应当强调的是，这些核心素养往往不是显性地在教材和教学中出现，而是蕴涵在教学内容的学习过程之中。另外，核心素养的培养也不是通过几次课就可以完成的，而是在相关教学内容的学习中不断地渗透和体现的，使学生逐步形成对数学内容和方法的理解。

案例：认识长度单位（如图）

北师大版二年级上册“课桌有多长”

案例中的教材要解决的问题是“课桌有多长”，这是一个测量的问题。以长度为例，测量的本质是确定和选择一个适当的单位表示物体的长度，就是用一个数量表示物体或线段的长度。数与数量的认识与表达是数感的重要内容，因此，在这个案例中，学生体会如何表示课桌有多长的过程，也是建立数感的过程。对于数与数量的感悟是小学阶段建立数感的核心所在，数是对数量的抽象，而测量是用数量表示长度或面积等。测量的关键在于单位的选取，这是对数量表达的基本要求。因此，通过本节课的学习，学生首先需要明白在测量之间要统一测量标准，也就是同一单位，否则由于单位选择的不同测量结果不同，不利于数学交流。其次，测量过程中的读数，是对数的感知，能够准确地读出测量结果，也是本节课要掌握的学习重点。最后，就是关于测量结果的表达，即数量的表达，要根据具体事物选择合适的单位进行数量表达，以使数据与单位和谐一致，这也在一定程度上体现了数与数量之间的关系。

测量的过程还涉及空间观念，在教材中所采取的测量对象大部分是实际的物体，如课桌、书本、文具盒等，这样的设计是为了与学生的日常生活相互联系。《数学课程标准》对空间观念的阐述包含了根据语言的描述画出具体的图形，而在本案例“量一量，画一画”部分，要求“画一条长4厘米的线”，这不仅是对学生数量感悟的要求，也是对学生空间观念的培养。

么样的交通工具？所花费的时间是多少？等等。通过对这些问题的独立思考、相互交流，采用小组分工合作的方式，得出合理的秋游方案。

本书前面已经提到应用意识与创新意识是综合性的核心素养，因此蕴涵应用意识与创新意识的案例，也一定会涉及其他一些核心素养。在本案例中，包含的核心素养还有：（1）数感，学生在设计秋游方案的过程中需要将现实的数量抽象成数，从而能够更好地进行表达；（2）运算能力，在关于景点门票价钱的计算、交通工具费用等问题L，都需要进行简单的运算，可能还会进行适当的估算与估计；（3）空间观念，在选择景点的过程中，可能会考虑不同景点的空间位置，距离学校的远近，以及景点周围有什么设施等问题；（4）模型思想，这里所涉及的模型可能会有总量模型、路程模型，总量模型用来解决景点票价问题，路程模型用来解决去到景点所用时间的问题；（5）数据分析观念，方案设计过程中需要大量的资料收集、统计一、分析工作，例如，选择交通工具和景点、购买食品和景点门票等，这些都需要数据分析观念。二、教学设计的案例

案例：“用字母表示数”教学片段（赵震执教）

唱儿歌《数青蛙》：

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。

两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。

三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。

……

让学生边拍手边有节奏地哼唱，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多得数不清时，赵老师问：还能唱吗？学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小纸条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？

学生在纸条上填：

生1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。

生2：a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿。

生3：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

生4：a只青蛙a张嘴，aa只眼睛aaaa条腿。

生5：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

 

在用字母表示数的教学中，儿歌《数青蛙》是教师常用的情境。学生对情境并不陌生，但当学生把情境中的数量关系用字母表示出来时，就反映出学生对字母表示数和符号意识的不同水平。在教学中教师选择了反映学生对符号不同理解的典型答案，展现了学生不同的表达方式和符号意识的不同水平：生1没有“用字母表示数”这个水平，只是用语言来描述数量及关系；生2虽然有意识地“用字母表示数”，但没有表示出数量关系；生3在一定程度上会“用字母表示数”,有了一定的数量关系，但是仍不全面；生4能较好地“用字母表示数”，明白其中的数量关系，但是表示得不准确，有待教师的进一步引导；生5真正理解“用字母表示数”，既用字母表示了数，又准确地表示了数量之间的关系。这是从学生表现的现象分析学生可能存在的对字母表示数的理解。教师还可以针对某一个具体的回答追问，以了解学生的真实的想法，以确定学生是否对符号有所理解。如针对生2的回答，追问学生：b和a是什么关系？。和d呢？如果学生了解它们之间的关系，说明他有一定的符号意识，就可以进一步引导学生用字母如何恰当地表示这种关系。

在上述案例中，教师通过学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。学生在一句句儿歌的诵读中，完成了思维水平的提升，完成了从数到字母抽象的过渡。在从数字运算到字母运算的过程中，教师要紧紧把握好符号意识。学生在唱儿歌的过程中，将发现其中的规律，并运用字母表示任意只青蛙，从而体会引进字母表示数的必要性和用符号表示的“概括”作用。他们还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律，乘法运算律，长方形面积公式，圆柱体积公式，路程、速度、时间的关系），在表示法则和公式的活动中，将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运算表示一般的规律。

案例 “小数加减法”教学片段（于萍执教）

课堂上教师就0.8+3.74=？的计算不是末位对其，而是小数点对其的问题与学生进行了讨论。

师：你们以前做过很多很多加减法题，无一例外都是把末位的两个数字对齐，可这道题为什么不是末位对齐呢？

生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。

师：你们虽然没把末位对齐，但把谁对齐了？

生：把小数点对齐，也就是相同数位对齐。

师：你看得很深、很准，这样做肯定有这样做的道理。可为什么一定要小数点对齐、要相同数位对齐呢？

生1：如果不对齐，算出来就错了。

生2：如果不把小数点对齐，而把末尾对齐的话，十分位的8就和百分位的4对齐了，相加之后肯定就不对了。

生3：我举个例子说吧，比如买两样东西，一个是0.8元，另一个3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不对了。

师：我们研究同一个问题时可以从不同角度进行，比如，可以讲道理，也可以举例子。刚才这道题，就有同学想到了用我们都熟悉的“元、角、分”举例子来解释，简单的事说明了深奥的道理，你真棒。看来只有相同计数单位的个数才能够相加减。

在这节课中，教师借助学生已有的认知基础和生活经验，帮助学生理解小数加减法的算理。小数加减法算理中的关键是理解为什么是小数点对齐，而不是末位对齐。无论是小数点对齐还是末位对齐，都是操作层面上的算法，而不是算理，重要的是使学生理解这些算法背后的算理。针对0.8+3.74二？这个问题师生展开讨论，通过讨论，学生从不层面认识小数点对齐和末位对齐表面不同，实质是相同的，背后的道理就是“相同计数单位的个数直接相加减”。理解算理最后都要归结为对数的理解，无论是整数还是小数，相同数位上的数的单位是一样的，因此就可以相加或相减。对算理的深刻理解是学生运算能力的重要表现，同时使学生从另一个角度认识了数，强化了数感。

案例：展开与折叠

本课是吉林省第二实验学校孟繁冬老师在第n届全国小学数学观摩活动中的一节课。这里选取教师提出问题，学生动手操作，展示学生探索图形展开方式的片段。以下是根据教学片段整理的部分内容。

师：（准备一个正方体，沿着棱剪开，将展开图粘贴在黑板上）刚才我们将一个正方体沿着棱展开了，得到了这样一个展开图形（板书：正方形）。正方体的展开图只有这一种吗？还有其他的吗？（拿出一个正方形盒子）

生：有。

师：我们亲自动手剪一剪、看一看，好不好？同学们不要着急，我们先来看一下有什么要求（出示操作要求），找同学读一读。

生：（大声朗读）沿棱剪开，不能剪散；将展开图贴到黑板上；注意安全。

师：一会剪的时候，把你的展开图贴到黑板上，如果你的展开图在黑板上已经有了，就不用贴了。

（学生操作，教师巡视，学生将展开图铁到黑板上）

师：（指着黑板上的展开图）你能知道图形中哪些面是对应的吗？用相同的记号把相对应的面表示出来。

生：（上台表示，从左向右，从上到下数，左上1和左下1对应，中上和中下对应，右上1和右下1对应。）

师：有同学迫不及待了，有其他想法吗？

生：有。

师：你说说。

生：（上台改正，从左向右，左上1和右上1对应，中上和中下对应，左下1和右下1对应。）

师：这次对了吗？怎么验证你是对的呢？

生：用手折一下。

师：怎么折？（将黑板上的图片取下来，并折叠。）

（学生在教师的帮助下上台将图形折叠成正方形。）

在这个案例中，我们看到几个重要的环节。一是教师让学生把一个正方体剪开成一个展开图，学生得到各种不同的展开图。二是将不同的展开图展示在黑板上，请学生把它们还原为正方体（指出哪两个面是相对的面）。学生可能了解自己剪的展开图的相对的面，对于不同方式的展开图相对的面就要凭空间想象还原。这个过程不是动手折叠回来，而是写出相对的面。因此，这样的折叠过程是通过想象完成的。三是讨论不同结果，必要时可以实际折叠一下进行验证。最后归纳出某些规律性的东西。在这样的动手剪、在头脑中还原，实际操作，总结规律的过程中，学生始终在具体和抽象的层面上建立正方体与展开图的联系，想象正方形各个面展开后是什么样，展开后的各个面折叠看会在什么地方。不断地在头脑中完成这样的活动，有利于学生建立空间观念，并初步形成空间想象力。