第二节《数学课程标准》中的数学核心素养解析

《数学课程标准》提出了10个核心素养：数感、符号意识、运算能力、空间观念、数据分析观念、几何直观、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。这些数学核心素养一般与几个学习领域内容有密切的关系，某些核心素养与单一的学习领域内容相关。例如，数感、符号意识、运算能力与“数与代数”领域直接相关。在学习数的认识、数的运算、字母表示数等内容时与这些核心素养直接联系。数的认识的学习过程有利于学生形成数感，数感的建立有助于学生形成对数的理解和把握。空间观念与“图形与几何”领域密切相关。学习图形以及图形的关系等内容应注重学生空间观念的发展。学生探索一个正方体有多少个面、怎样求易拉罐的表面积等内容时，都需要空间观念的支撑。数据分析观念与“统计与概率”领域直接密切相关，数据的收集、整理、呈现和判断的整个过程是学生形成数学分析观念的过程。

有些核心素养与几个领域都有密切的关系，不直接指向某个单一的领域，包括几何直观、推理能力和模型思想。几何直观在学习“图形与几何”“数与代数”等领域的内容时都会用到，在解决具体数学问题时，可以采用画图的方法帮助理解数与代数问题中的数量关系。推理能力在几个领域的学习中都会用到：推理在儿何中经常运用，特别是初中阶段的平面几何的证明。在“数与代数”领域，表述一些运算的算理时，其实用到了演绎推理的方法。如在学习“20以内退位减法”时，“看减法，想加法”是用加减之间互为逆运算的方法来计算的。而这个过程通常表述为，“因为9+6＝巧，所以15—9=6”，事实上这里没有把“加减之间互为逆运算”这个大前提表述出来，加上这个大前提就是一个完整的演绎推理的过程。

模型思想同样在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”中都会用到。如，“时、分、秒”可以从建立时间模型的角度理解；方程的学习更是一个建模的过程；数轴和直角坐标系都是刻画空间位置的模型，“最简单的一维几何模型是一条线，如果在线上标出原点、单位、方向，则称这样的线为数轴”。

应用意识与创新意识具有综合性、整体性，在“综合与实践”领域中有突出的表现，但并不局限于这个领域，应贯穿整个小学数学教育全过程。

一、与单一领域相关的核心素养

《数学课程标准》确定的四个领域，其中三个领域是属于数学学科内容领域，第四个“综合与实践”不是具体的知识领域，是综合运用几个领域的知识与方法解决实际问题。与单一领域相关的核心素养，主要是与“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域中的一个直接相关的核心素养。

（一）数感

课标摘要

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感香建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中厂李量关系。

数感是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。数与数量的感悟是在数的认识过程中形成的。数是数量的抽象，学生认识抽象的数，首先要感悟相关的数量，再由数量抽象为数。数量是相对具体的，是对具体事物的数量特征上的描述。由数量抽象为数，就脱离了具体的事物，表示为抽象意义的数。小学阶段主要包括整数、分数、小数的认识，这些内容的教学都需要学生建立数感的过程。基本的数量关系是相等和不等，包括数量之间的关系与运算之间的关系。对运算结果的估计包含在数的运算过程中，根据数的意义估计运算的结果。

数与数量的感悟是小学数学建立数感的核心，是体现数感的最重要的内容。数与数量的感悟可以从两个方面理解：一是从数量抽象为数的过程；二是把抽象的数与现实的情境联系起来，理解数的含义。

从数量到数的抽象，有助于学生理解数的意义，把现实生活中的数量与抽象的数建立联系。小学数学学习的数主要包括整数、分数和小数。对于数的理解主要包括理解数的意义和掌握数的表示。对整数（小学中主要是自然数）的认识，是从数量到数的抽象过程，需要先认识数量，再认识数。十进制计数法是表示数的最好方法。分数的基本意义是表示整体和等分的关系，分数作为数概念首先是一个数，而不是运算。虽然分数可以表示成运算。“分数本身是数而不是运算。”小数是特殊的分数，是分母可以表示成10的，次方的分数，或称十进分数。小数在为了用较大的单位来表示一个较小的数时使用，如12厘米等于0.12米。这个过程也是从数量到数的过程。当然，除了有限小数，还有无限循环小数和无限不循环小数。教学中应重视引导学生体会从数量到数的抽象过程，理解数是数量的抽象；理解和掌握各种数的表示，以及它们之间的关系。在这个过程中建立数感。

（二）符号意识

课标摘要

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

与数相比，符号较为抽象，可以简洁地表示数和数量关系。数学符号蕴涵了数学的基本性质，由于数学符号的高度抽象性，它激发的联想更是多方位、多层次、高度发散的。帮助学生建立数学符号意识，可以从以下几个方面着手。

1．理解符号的意义

数学符号的意义，指的是针对符号形式规定的符号内容，以及与有关符号结合方式的规定。具体地说，包括符号形式被明确地规定；不同符号形式有不同的符号内容；一个特定的符号形式与一个特定的符号内容相对应；符号形式间的结合，凡属允许的结合都是被规定了的。比如，几何学中的△、○、∥、⊥、<都属于象形符号，它是对数学对象的空间位置结构或数量关系经抽象概括得到的各种数学图形，再经缩小或改造而形成的一类数学符号，这种符号在表现上具有一定的形象性。再如，运算符号＋，－，x，÷，>,<，常量符号a、b、c,变量符号x、y、z等属于约定符号，约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号。学生对数学符号的理解重点在于将实体符号与其所蕴涵的数学意义建立有机的联系，从而借助符号进行数学学习。

2．运用符号表示对象运

用符号表示对象，在表达式中运用符号，是从算术思维到代数思维，即用字母表示数的过程，也是人们把数量的思维提升为一种关系思维的变化，实质上这也是一种对规律变化和模型的描述。数学符号是交流与传播数学思想的媒介，数学符号语言是数学发明、创造的工具。通过数学符号的应用，可以使数学的思维过程更加精确、概括、简洁，从而更容易揭示数学的本质。数学内容是运用包含着大量符号的数学语言来表达的，因而数学训练能为学习其他学科进行最好的准备，所以，数学符号是数学内容的重要组成部分，是数学抽象思维的产物，可以用来表示一般的数量关系及其变化规律。

3．使用符号进行运算和推理，得到一般结论数学表达是从数量到数的转变，例如四只羊，四个轮子，四条腿，可以用数字“4”表示；从数到字母的转变；从语言到符号表达方式的改变，例如，两个数相加，调换加数的位置得数不变，即a+b=b+a，从而提高抽象程度。中国著名数学家秦九韶解出许多高次方程（包括十次方程），但是非常可惜的是，他没能发现一元二次方程的根与系数的关系，这与没有运用符号系统有关。而韦达引人符号体系，得到一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，这个定理至今仍是数学中的重要定理之一。

形象思维与抽象思维对于数学思考非常重要，尤其是借助符号进行抽象思维是非常重要的。另外，算术思考与代数思考相结合的数学思考方式，对数学素养的形成具有重要意义。例如，利用方程的优势在于可以用字母表示一个未知的数量，这个字母与已知的数量具有同等地位，使解决问题的路径变得更清晰。

（三）运算能力

1．对运算能力的理解

课标摘要

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

运算与数学知识、用算理解决问题密切相关，因此，是数学学习的重要目标。运算并不是简单地让学生学会计算，更重要的是对算理的理解，不仅要知道怎样运算，还要知道为什么这样运算，即根据法则和运算律进行运算。运算能力的具体要求有如下三个方面。

（1）理解运算法则。这里的运算法则应当理解为进行运算的一般规则，即以算理为基础的运算的规则，而不只是以往的四则运算法则。因此，运算法则本质在于对算理的把握。如整数加法，“个位加个位”“十位加十位”是因为相同数位上的数的值都是同样的计数单位，也就是相同单位上的数可以相加。这样的算理不仅整数运算可用，小数和分数运算也可用。在理解算理的同时允许算法多样。运算的程序反映了运算的依据，需要引导、帮助学生有意识地、及时地发现、总结规律，从而提高运算能力。算法多样化是在理解算理的基础上，允许不同的学生采用不同的操作方式进行计算，但不一定是一个学生用多种方法计算。会按照一定的程序和步骤进行计算，是对学生运算技能的要求，也是学生需要掌握的基本技能之一。运算能力的培养离不开运算技能的训练，适当的技能训练有助于学生理解“算理”，体会“算法”，提升运算能力

（2）运算律。在小学阶段，理解与运用交换律和结合律是重点。通过引导、观察、实验形成用字母表示的运算律，具有一般的指导性，分数、小数、整数都满足交换律与结合律，这是需要学生理解的。在一定程度上，合理、正确地使用运算律能够简化运算，但是盲目、机械地套用运算律，反而会适得其反，因此，要让学生辩证地理解运算律，防止思维定式的影响。

（3）正确性。运算结果的正确性是运算的最基本的要求，如果不能够准确地计算出结果，一味地追求高速度运算是本末倒置的。因此，我们需要将运算的目标放在结果的正确性上，不必盲目地追求速算。

2．关于精算、估算和估计

对运算问题的分析，离不开对精算、估算和估计的理解，这也是经常引起疑问的地方。“精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算’，（吏宁中．基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题仁闭．北京：高等教育出版社，2013:32.）对于数的运算可以不考虑运算的背景和实际意义，是对抽象的数的运算。因此，对精算过程的理解一般是从数概念人手的，以数的含义来理解运算的法则和程序。而数量是有单位的数，是和具体的背景或情境有关的，所以估算一般是针对具体情境中的问题进行的。所以《数学课程标准》强调估算是要选择合适的单位进行计算。估计是对精算或估算过程中的近似计算。在精算和估算中都会用到估计，如除法试商时估计商的大小。

（四）空间观念

空间观念是有关形体在头脑中形成的表象，当脱离具体形象时还能在头脑中反映出来，空间观念在几何学习中具有重要意义。有关空间观念的要求，一直是我国小学数学课程的重要内容。从2001年的标准到2011年的标准，都强调培养学生的空间观念。

1．对空间观念的理解

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空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

空间观念的形成是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、类比、分析，不断由低到高发展的认识客观事物的过程，是建立在实物直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握。

建立空间观念是为了提高学生的空间想象能力，包括从现实物体到几何图形进行抽象、从几何图形到现实物体进行想象、建立有关几何图形的表象、认识方位、利用方位判断物体所在位置。

2．培养空间观念的教学策略

在教学活动中，适当的干预与刺激能够在一定程度上影响学生空间观念的形成与发展，因此，一方面在讲解有关图形概念时创设具体的情境，让学生体会从现实物体到几何图形的抽象过程，学生通过对实物的操作、观察，然后再脱离实物进行想象，进而从感性认识上升到理性思考；另一方面也可以直接运用几何图形，使学生认识其特征和图形之间的关系，让学生尽早接触这些数学内容，探索图形的特征和关系，循序渐进地培养学生的空间观念。

（1）引导观察，激发想象空间观念的形成主要通过“图形与几何”内容的学习得以实现。在认识图形和图形的测量等内容中应为学生提供丰富的现实生活情境，使学生在具体的感知和操作过程中，学会观察，形成对有关形体的直观的形象，以使学生建立表象、形成空间观念。例如，两个全等的梯形可拼成一个平行四边形，那么我们可以提出如下问题：拼成的平行四边形的底和原梯形的上下底有什么关系？平行四边形的高与梯形的高有什么关系？平行四边形的面积与梯形的面积有什么关系？学生在思考这些问题的过程中，了解梯形面积的计算方法，同时也形成空间观念。在进行图形的分解或组合的过程中，激发学生的想象能力，同样有助于学生建立空间观念，同时也有助于提高学生的创新能力。通过合理的想象，既加深学生对数学的理解，激发创造潜力，又让他们逐步形成合乎逻辑的思考、严谨求实的态度、不断创新的意识。

（2）分析比较，形成抽象在空间观念的培养过程中，需要学生能够透过物体的表象，找出事物的本质。通过分析、比较，能够从现实世界的实物中抽象出数学世界的几何体，得到正确、清晰的几何概念，并能找出事物的不同特征，逐步形成空间观念。例如，对于长方体与正方体的认识，教材没有给出明确的概念，而是通过举例，指出像某些物体的形状是长方体，并指出由6个面、12条棱、8个顶点所组成的几何体不一定都是长方体。教师可以利用学生所熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况，使具体事物的形象在学生头脑里得到全面的反映，使学生对长方体和正方体的属性理解得更加深刻，从而抽象出长方体与正方体的本质特征以及两者之间的关系。

（3）综合分析，解决问题学生的空间观念来源于生活，也要回归生活。学生在从生活中获得感性材料、动手操作以及运用实际所学知识分析问题、解决问题的过程中发展空间想象能力，提升空间观念。例如，在学习几何体表面积计算时，可以选择一些实际生活中常遇到的情况，如计算做火柴盒、下水管、烟囱、拖拉机车斗等物体需要多少材料，使学生能够根据不同的现实情况确定实际需要计算哪些面的面积，这样既可以提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，又可以强化学生的空间观念。

（五）数据分析观念

《数学课程标准》提出培养学生的数据分析观念，这是学习“统计与概率”内容的核心。小学阶段“统计与概率”内容的学习，应从数据着手，在收集和分析数据的过程中建立数据分析观念，进而理解有关统计与概率的内容。

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数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

 

数据分析观念着重强调收集、整理与呈现数据，体会数据的作用和价值，体会数据中蕴涵着的信息。我们可以从以下四个方面理解数据分析观念：一是数据收集的意识与方法。学生能够针对实际问题，用适当的方法进行调查，通过收集数据、分析数据，作出合理正确的推测，从中体会数据背后所蕴涵着的信息。二是数据处理方法。通过对不同数据分析方法的学习和了解，能够根据不同的情境、不同的问题以及希望得出的结论选择合适的方法处理数据和分析数据。例如，学生可以通过绘制条形统计图、直方图、扇形图、折线图来进行数据分析。三是了解数据中蕴涵的信息。通过数据的整理和恰当的呈现，可以了解数据中的信息，包括数据的一些特征，如平均数、最大值、最小值等，以后还要学习中位数和众数等。这些信息会帮助我们进一步认识数据，以及数据中所反映的规律。四是通过数据分析感受随机性，意识到即使对于相同的事情，虽然每次收集到的数据可能不同，但也可以根据大量的数据发现一定的规律。例如，上学的时间，每次可能不完全相同，但是如果重复多次，就会呈现出一些规律。

二、与多个领域相关的核心素养

有些核心素养不只体现在一个领域之中，还与多个领域相关，这些核心素养有：几何直观、推理能力、模型思想。在实际教学中，结合相关学习内容，关注这些核心素养的体现。

（一）几何直观

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几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

小学生的思维水平处在具体思维向抽象思维过渡的阶段，因此学习较为抽象的内容，特别是理解较为复杂的数量关系时，需要具体事物的支持。将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，充分体现问题的本质，有助于学生思维的发展，突破学习数学时由数学的抽象性所带来的阻碍。例如，我们可以借助图形的面积帮助学生理解乘法分配律，借助线段图的方法解决应用题，借助画图理解倍数问题等。正如弗赖登塔尔的观点：几何直观可以告诉我们什么是重要的、有趣的和容易进人的，当我们陷人问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们。

数学家希尔伯特认为：在数学中，像在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料进行系统的、有条理的处理。另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象。几何直观是指用形象的方式描述数量关系或特征。对某些问题的理解有困难时，可以借助图形帮助解决问题。小学中常用的几何直观方式包括画线段图、示意图等。

几何直观在数学学习中的价值体现在可以帮助学生分析问题中的数量关系、寻求解决问题的思路、理解和记忆得到的结果等。学生通过形象的方式分析和解决问题，能更好地理解抽象的（符号的）表示和复杂的数量关系，理解数形结合的思想方法。

（二）推理能力

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推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使甲的忍维方式二推理一般包括合情推理和演绎推理，合清推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

数学是思维的学科，数学学习过程也是学会思维的过程。在小学数学教学中，虽然没有严格的推理证明，但有许多内容与推理能力培养有关。推理能力的培养是小学数学教学的重要任务。

归纳是小学数学中用得比较多的方法，归纳和类比都属于合情推理，通过归纳和类比得出的结果，对于探索数学结论、寻找问题的答案非常重要。从特殊到一般的归纳方式，有助于学生认识数学结论的探索与发现过程。

如运算律的归纳过程：3+5=5+3;7+9=9+7:25+35=35+25总结出a+b=b+a

分数基本性质的归纳过程：1/2=2/4=4/8推出a/b=ac/bc（c不等于0）

三角形内角和：用实验的方法验证不同三角形内角和都是180°。

演绎推理是从一般到特殊，是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按逻辑推理的法则证明和计算。小学数学中没有严格的演绎推理，但有一些“三段式”说理过程，也是演绎推理表现。如，判断长方形、正方形是不是平行四边形，说出理由：因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形（大前提），而长方形、正方形的两组对边也是分别平行的，而且有四条边（小前提），所以，长方形、正方形是平行四边形（结论）。

在学习运算内容时，理解算理的过程也是推理的过程。

在理解12x4的算理时，学生应该从数的意义出发，理解“12可分解成10+2,10x4=40,2x4=8,40+5=45，所以12x4=45”。这个计算过程就是一个逻辑推理的过程。学生理解算理，对学生以后学习相关的问题提供了思考方式，也学会了用逻辑推理的方式讲清算理。

推理能力在数学学习中有重要的价值：一方面，数学推理是数学学科建立与发展的重要基础；另一方面，推理能够培养学生的思维品质，使学生形成理性的数学思维，从而实现真正意义上的数学的记忆。数学推理是数学思考的重要形式，而在数学学习过程中，部分数学思考又是由推理的某种形式展开的，学会推理是数学素养的基本表现，推理能力的培养应贯穿数学教育的始终。

（三）模型思想

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模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径二建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

数学模型是用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。首先数学模型是针对实际问题的。实际问题是复杂的、内容丰富的、有现实背景的。针对实际问题建立数学模型就是基于问题的现实背景，将背景中所含有的数量关系加以抽象，形成一个数学表达。如，路程＝速度x时间，这种数学表达即数学模型。数学模型不是解决单个的数学问题，而是解决一类这样问题的思维方式。小学数学中主要涉及两个重要的数学模型，即总量模型和路程模型。

三、综合性的核心素养

（一）应用意识

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应用意识有两个方面的含义：一方面，育意识利甲数学的概念、原理和万法解释现实世界上约现象，解决砚实世界上约月题；另一方面，认识到现实生舌中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题都可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

数学的特征之一就是具有广泛的应用性，是人类生活、学习中不可或缺的工具。特别是计算机和信息技术的突飞猛进，使数学几乎渗透到每一个学科领域，甚至人们日常生活中的每一个角落。在现实生活中，处处都有数学的应用。数学应用意识表现在能够主动地用数学的眼光来观察、分析、处理一些现实问题，这当然就会涉及从现实世界到数学世界建立模型的过程，然后再利用数学知识对模型进行求解，最终解决现实中的实际问题。

应用意识是一个学生数学品质和数学能力的集中体现，反映了学生在解决现实问题过程中，对事物的观察能力、思维直觉、独立、批判能力以及抽象能力，也是一个学生进行数学思考、勇于探索的表现。应用意识是运用数学知识、思想方法解决问题的一种心理倾向，基于对数学的广泛性和应用价值的认识。现实问题特征与规律可以用数学知识、方法、思想解释，应用意识能够使学生体现运用数学的观念、方法解决现实问题的主动性。应用意识还强调学生能自觉、主动地应用数学解决现实生活中的问题，而自觉性和主动性在一定程度上是一种心理状态，是“隐性”状态的数学。教师需要在教学中引导学生，能够具备一定的数学眼光，从实际问题中发现数学信息，能够在实际情境中发现问题和提出问题；具备一定的数学知识和能力，可以分析所发现的数学信息，将数学问题与己有的数学知识建立联系，积极思考，解决问题。

（二）创新意识

创新意识是人们进行创造活动的出发点和内在动力，是创造性思维和创造力的前提和条件，创造性思维是创新意识的必然结果，二者之间具有密不可分的联系。创新意识是现代社会必需的，创新意识的培养要从义务教育阶段开始，为学生后期的数学学习奠定基础。

课标摘要

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

从《数学课程标准》可以看出，创新意识的培养要注重以下三个方面。

1．培养学生发现和提出问题的能力

2．数学源于生活并应用于生活，因此培养学生发现问题和提出问题一定要联系实际生活，从学生的生活经验和客观事实出发，尊重学生的身心发展规律和认知水平，培养学生形成从数学的角度处理生活中实际问题的习惯，在现实情境中发现情境中所蕴涵的数学信息，进一步归纳、整理形成一个个数学问题。例如，讲解小数加减法时，可以让学生去调查超市一些商品的价格，引导学生自己发现和提出问题。这样学生就能够感受到数学问题其实就在我身边，更好地将数学问题与学生生活联系在一起，培养学生的问题意识和探究精神。

2．培养学生独立思考的能力

在发现问题和提出问题之后，就要培养学生对问题进行思考的能力。独立思考与合作交流并不矛盾，能够实现合作交流的前提一定是学生进行了独立思考，学生将通过独立思考得到的不同见解进行相互交流、讨论，有利于问题的解决。培养学生独立思考的能力，最重要的是给学生提供独立思考的机会，使学生积极、主动、自觉地进行数学思考，关注学生的主观能动性，留给学生充分的思考时间，对学生进行适当的引导，而不是急于抛出问题的答案或者解决方法。只有在数学学习过程中善于独立思考，才能收获智慧的果实。

3．培养学生归纳验证的能力

归纳验证是培养学生创新意识的重要的方法。学生在经过独立思考之后，会对某个问题的解决有一定的想法，可能是一种思路或者是一个问题解决的起点，如果真正要解决一个实际问题，可能还会有一些阻碍，这时就需要学生具备一定的归纳能力，能够从具体的思路中归纳出解决问题的方法。当解决一个问题之后，还要将其还原为现实问题进行验证，考查所得结果是否符合实际情况，创新不是盲目的，必须与现实情况相符，所以验证步骤是必不可少的。在实际问题中，时间、距离等需要大于零的量，学生数量必须是整数，这些限制条件都是我们在验证的时候需要注意的，创新方法的解答也要满足这些限制条件。

创新意识在数学学习过程中具有重要的意义，更多地体现在利用数学方法解决现实问题的创新性上，因此我们要重视学生的数学创新能力和创新思维的培养与训练，对于不同情境的数学问题要有一定的求新、求异的解题方法，有效地激发学生的创新欲望，从而不断地提高学生的数学学习兴趣，使学生具备一定的创新意识，以适应时代发展的需要。