要点提示

关注学生核心素养的发展是一个重要的话题。国内外在基础教育阶段都重视学生核心素养的发展。《数学课程标准》虽然没有明确表述核心素养，但对一些重要概念的阐述，可以理解为数学的核心素养。在10个数学核心素养中，与单一领域相关的核心素养有5个，分别是数感、符号意识、运算能力、空间观念、数据分析观念；与多个领域相关的核心素养有3个，分别是几何直观、推理能力、模型思想；综合性的核心素养有2个，分别是应用意识、创新意识。本章首先界定数学核心素养的含义与特征，然后通过分析数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等相关概念之间的关系，并借助相关教学案例，重点分析《数学课程标准》中10个核心素养的表述，以加深对10个核心素养的理解。

学习目标

1．了解数学核心素养的含义、特征，把握数学核心素养与数学思想与方法等相关概念之间的关系。

2．理解、把握数感、符号意识等10个数学核心素养，感悟数学核心素养的本质。

3．能够分析并设计与数学杨心素养有关的案例，借助数学核心素养，理解数学的本质。

 

第一节对数学核心素养的理解

数学核心素养是一个受到普遍关注的问题，也是《数学课程标准》的基本理念与目标的体现。如何理解数学核心素养，将《数学课程标准》提出的数学核心素养在教学实践中落实，是小学数学教师应特别关注的问题。

一、数学核心素养的含义

数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域时，应达成的综合性能力，是数学教与学过程中应当特别关注的基本素养。

《数学课程标准》明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、运算能力、空间观念、数据分析观念、几何直观、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。《数学课程标准》只是提出并解释了这些词的含义，并未明确称之为“概念”。这些内容在2001年的《标准（实验稿）》就已经出现了6个，《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》将其称为核心词。核心词和核心概念都是习惯的说法，并不是确切的描述。本书将这些表述称为数学核心素养，一方面是由于这些表述是数学知识技能上位的内容，与数学能力相关，但又不局限于数学能力，很大程度上反映了数学思想和方法；另一方面，核心素养是近年来关注较多的一个问题，用核心素养概括这些表述要比核心词和核心概念更贴切，更符合这些表述所反映的实质。

数学核心素养可以被理解为学生学习数学时应当达成的有特定意义的综合能力。核心素养不是指具体的知识技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在学习数学的过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性等特征。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，这对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。

数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的公民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和功能，具有数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。①可见，数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。具备数学素养的人在日常生活中可以从数学的角度看待问题、思考问题、解决问题。比如，人们在超市购物时常常发现这样的情境：收银台前排了长长的队等待结账，只买一两件商品的人和买一车商品的人在同一队等候。有位数学家看到这种情境马上想到，能否考虑为买东西少的人单独设一个出口，这样可以免去这些人长时间地等候，会大大提高效率。那么问题就出现了：什么叫少，1件、2件、3件或4件？上限是多少？设定不同件数会对收银的整体情况产生什么影响？通过统计的方法，收集不同时段顾客及其购买商品的数量，用这些数据可以帮助人们进行判断。在这个过程中，数学素养这样帮助人们思考问题和解决问题：首先，具有数感的人会认识到排队结账这件事中有数学问题，有意识地把一些事情与数和数量建立联系，比如，将人们购买商品的数量与结账的速度建立联系。其次，要解决这个问题需要数据分析观念，用具体的数据说话会有说服力地解决这个问题。从这个例子中，可以了解到，具备数学素养可能有助于人们在具体的情境中发现问题、提出问题和解决问题，而这个情境本身可能并非直接与数学相关。

二、数学核心素养的特征

数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性等特征。

案例：分数乘法

在2013年第11届全国小学数学观摩课“分数乘法”的教学中，要解决的问题是：“每小时1/5米，1/2小时织多少米？”教师引导学生用画图的方法解决1/5×1/2的问题：“如果用一个长方形表示1米长的围巾，我们应该先画什么，再画什么？”学生两个人一组通过画图表示这一数量关系。其中两种典型的画法:

                           

两种画法（方法）的不同在于：方法1在第二次分的时候仍然是按第一次分的同样方式把一个小长方形平均分成2份；方法2却用画一条小横线的方式来分，两种方法看起来没有差别，但当老师问：为什么得到的结果是1/10的时候，第2种方法就显得比第1种方法更清楚。

一位男生说了一句关键的话，“加一条辅助线”，形成下图的情况。在图中我们可以清楚地看到1/5的1/2是1/10，也就是1/5×1/2=1/10。

借助上面的案例，我们来分析数学核心素养的特征。

一是综合性。综合性是指数学核心素养是数学基础知识、基本能力、数学思考和数学态度等的综合体现。数学基础知识和基本能力可以看作数学核心素养的外显表现。在上面用几何直观表示分数乘法的过程中，需要运用分数的意义、乘法的意义、乘法运算、用图表示分数等基础知识和基本能力。同时，学生还要思考用什么样的方式可以更好地表示出这样一种数量关系。这是一种综合能力。核心素养总是基于数学的基础知识和基本能力实现的，并且外化于运用基础知识和基本能力解决问题的过程中。同时，数学核心素养也能促进学生对数学基础知识的深刻理解和数学基本能力的提升。数学思考与数学态度是数学核心素养的内隐特质。核心素养的形成需要对数学内部和数学外部之间的各种关系进行深人理解和综合运用。在这个过程中，数学的思考能力和思考方式，以及数学态度起着重要作用，而这种作用往往不是直接看到的，而是内隐于解决问题过程之中的。在上面的案例中，教师已经事先提示学生，用一个长方形表示一个1米长的围巾，并事先准备好长方形纸，让学生来做。如果教师不用这样的提示，可能学生会做出各种不同的几何直观的表示方式。这会显示出学生不同的思考方式和学习数学过程中的态度。

二是阶段性。阶段性是指不同阶段的学生的数学核心素养水平表现为不同层次。在上面的例子中，学生用不同的方式表现分数乘法的过程。分一个长方形的方式和顺序，表现出学生运用几何直观的不同水平。五年级的学生可以在一个图中表示出两种不同的数量关系，并理解它们之间的联系；而低年级的学生可能达不到这种水平，在一个图中只表达一种数量关系。到了初中，学生可以用更复杂的方式表达数量关系，几何直观的水平会更高。这反映了几何直观的不同阶段。数学核心素养的水平和层次划分，是一个复杂的问题，不同的核心素养也有各自的特点。这将是一个值得深人研究的问题。

三是持久性。持久性是指数学核心素养的培养不仅有助于学生对数学知识的理解与把握，还是伴随学生进一步学习，以及将来走向生活、有效工作的工具。在上面的例子中，运用图、表等直观方式表达复杂数量关系的能力，作为学生的数学素养，可以一直伴随他的学习和生活，体现了这一核心素养的持久性。

三、数学核心素养与相关概念的关系

与数学核心素养有着密切关系的还有数学基本思想、数学思想方法等概念。按照上述对数学核心素养的理解，我们可以尝试分析这几个概念之间的关系。

数学基本思想是《数学课程标准》提出的“四基”之一，也是义务教育阶段学生应当达到的重要目标之一。数学基本思想是数学科学本质特征的反映，是数学科学的基石，史宁中教授认为，数学基本思想“是数学发展所依赖、所依靠的思想’，。数学基本思想是研究数学不可缺少的思想，也是学习数学、理解数学和掌握数学所应追求和达成的目标。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”把抽象、推理和模型作为数学的基本思想与数学具有抽象性、严谨性和广泛的应用性的基本特征是一致的。抽象性是抽象思想的体现，严谨性来自合乎逻辑的推理，广泛的应用性指通过建立数学模型将数学与现实中的问题建立联系，以解决更广泛的实际问题。对于数学教育而言，了解数学学科发展所依赖的数学基本思想是必要的，也是最基本的目标，这体现了对数学学科的基本理解与把握，以及对数学这门学科基本的思维方式的理解。

数学思想方法是学习数学，特别是解决数学问题所运用的方法。这些方法通常具有一定的可操作性，同时反映数学的某些思想，不是一般意义上的具体方法。在数学学习和解决数学问题过程中，人们形成了一些重要的数学思想方法，如，转换、数形结合、特殊化、穷举、等量替换的思想方法。在小学数学教育中，经常运用这些思想方法解决一类数学问题。如用转换的思想方法学习平行四边形面积公式，将平行四边形转换成长方形，由长方形的面积＝长x宽，得知平行四边形的面积＝底边x高；又如用等量替换的方法解方程；等等。

从上述的理解中，可以尝试分析这三个概念之间的关系。数学基本思想是统领整个数学和数学教育的思想，对于研究数学和学习数学的人都有重要指导意义；数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现；数学思想方法则是在操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想的方法或能力。