第三节 数学课程的内容

课标摘要

《数学课程标准》关于“小学数学课程内容”的要求为：

课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律；它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关真课程内容的呈现应注意层次性和多样性。

 

《数学课程标准》关于数学课程内容的理念，可以重点从以下几个方面理解。

一、课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律

按照课程理论的基本观点，课程内容的选择与确定的主要依据是社会的需要、学科特点、学生的认识规律。数学课程内容的选择、确定与安排也同样应以这几个方面为依据。

第一，从反映社会需要的角度来说，《数学课程标准》在每一个学段的不同领域具体内容的表述上，充分注意与现实社会和学生生活的联系。比如，第一学段“数与代数”领域包括这样的内容：“在现实情境中理解万以内数的意义”;“能运用数表示日常生活中的一些事物”;“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。第二学段“统计与概率”领域包括这样的内容：“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”;“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表”。第二学段“综合与实践”的内容包括：“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”;“在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制订简单的方案解决问题的过程”。教材的处理上也关注与学生生活和现实社会的联系。

第二，从数学自身特点的角度来说，《数学课程标准》关注数学学科知识的内在逻辑和结构，小学数学内容分为四个方面：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。前三个属于数学学科知识的领域，具有相对独立的内容体系，如“数与代数”分为“数的认识”“数的运算”“常见的量”“探索规律”等内容，体现了数学知识的结构和系统性。“综合与实践”是综合运用有关的数学知识解决社会生活和数学本身问题的内容。四个方面的内容反映了数学学科内容的体系，同时，在内容的选择上也注意到数学学科自身的发展。在教材内容的安排上，应突出数学的抽象性、严谨性和广泛的应用性特征。

第三，从符合学生的认知规律方面，《数学课程标准》对具体的内容提出了不同层次的要求，如，结果性的行为目标包括“了解”“理解”“掌握”“运用”四个层次，每一个层次的要求都有明确的规定。如“理解”是“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”。这些要求既是刘具体内容的要求，也符合学生的认知规律。教材内容的呈现更是从具体到抽象，以现实背景和具体任务吸引学生参与和体验，进而满足学生发展的需要。

二、课程内容的安排要处理好三个关系

《数学课程标准》对于课程内容的安排提出，要处理好过程与结果的关系、直观与抽象的关系、直接经验与间接经验的关系。

（一）过程与结果的关系

《数学课程标准》明确了过程目标的内容和结果目标的内容。知识技能的内容以结果目标为主，同时对一些重要概念和原理的过程目标进行了规定。下表是对“图形与几何”中几个层次的结果目标的内容和过程目标的内容的具体表述。

《数学课程标准》中的相关要求

                           

行为动词	“图形与几何”内容（部分）要求
了解	．结合实例了解线段、射线和直线   ．知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间大小关系   ．结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系   ．认识三角形，通过观察、操作、了解三角形两边之和大于第三边
理解	．通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆   ．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
掌握	．能辨别从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状
经历	．通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米3、分米3、厘米升、毫升），能进行单位之间的换算，感受1米3、l厘米3以及1升、l毫升的实际意义
体验	．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离
探索	．探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积

 

从上面的要求我们注意到，有些内容既有结果性的要求，也有过程性的要求。如“探索并掌握长方形、正方形的面积公式”，在具体的教学设计中，需要处理好过程与结果的关系。在设计和组织学生探索的过程中，使学生知道长方形、正方形面积公式的来龙去脉，掌握长方形、正方形的面积公式。

教材中在相应内容的处理上，也注重设计丰富的情境，使学生在经历与探索的过程后，理解和掌握数学的基础知识，形成熟练的基本技能。在某些内容的学习中，既要注重学生的学习结果，又要重视学习过程。在质数和因数学习过程中，通过“用12个小正方形摆成长方形”的活动，和对摆列结果进行分类的教学方式，让学生理解质数的特征并体验质数的产生过程。

（二）直观与抽象的关系

抽象是数学的主要特征之一，培养学生的抽象能力是数学教学的重要目标。数学学科的抽象性与小学生思维的具体性之间的矛盾，要求数学教学处理好直观与抽象的关系。《数学课程标准》确定的目标重视学生经历抽象的过程，在内容的选择和呈现上重视具体情境的运用。如课程目标中提出使学生经历“数与代数”的抽象、运算与建模等过程，掌握“数与代数”的基础知识和基本技能；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握“图形与几何”的基础知识和基本技能。课程内容中有许多这样的表述：“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”;“能结合具体情境初步认识小数和

分数，能读、写小数和分数”;“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”。这些都表明在教学中应当处理好直观与抽象的关系，通过具体的情境使学生建立抽象的数学概念，体会和掌握抽象的数学知识，逐步培养抽象思维。

教材中有很多运用具体形象的方式帮助学生理解和掌握数学知识的情境。

从上面教材的设计中可以发现如何帮助学生理解具体与抽象的关系。通过数具体事物（小朋友、小鸟、树等）的数量，认识10以内的数。教材中，“大象”与“点”相比，“大象”是具体的，“点”较为抽象，但是“点”与数字“1”相比，又是相对具体的。在抽象的数学内容的教学过程中，教师应从杂乱的教材情境中，呈现从实物到数字的抽象过程，采用举例、画图、演示等方式帮助学生加深理解。同样，用温度的测量值表示，可以让学生具体地理解负数的意义。

（三）直接经验与间接经验的关系

数学学科的概念与原理是人类长期认识过程的结果，这些内容对于学生学习来说，大多属于间接经验。学生学习是理解、掌握人类经验，从认知规律和发展来看，同样需要一定的直接经验。课程内容选择与呈现需要为学生提供适当的直接经验机会，处理好直接经验与间接经验的关系。

例如，在学习“长度单位”时，往往不是直接告诉学生米、分米、厘米有多长，而是让学生通过用直尺实际测量教室、黑板、书桌的长度等实践活动，在活动中体验建立长度单位的必要性。

三、课程内容的组织

《标准（2011年版）》指出，“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”这恰当表达了数学课程内容的组织原则。

（一）重视过程，处理好过程与结果的关系

新课程改革推动下的数学课程关注知识形成的过程，因为这是学生获得体验、产生学习数学积极情感的重要途径。

数学学科的研究对象可以是直接来自现实世界的数据和模型，也可以是一些抽象的思想材料，这就需要学生通过自己的“实践”获得第一手的材料，需要学生去洞悉数学知识的来龙去脉，经历数学知识的发现、发生、发展的过程。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的，通过这个过程学习应用数学。另外，学生在经历数学探索和思维过程的同时，能让已经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学经验升华为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，逐步形成创新意识和应用意识，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。

由于课堂时间是有限的，重视过程的数学课程呈现的“数学知识”的总量肯定比以往要少，而且探索的过程意味着学生要面临许多困惑、挫折，甚至失败。学生也可能在耗费了很多时间和精力之后获得的结果并不理想。因而，课程内容的组织要正确处理好过程与结果的关系。在保证结果的基础上，必须适当展开知识的形成过程。毕竟过程是为结果服务的。另外，对过程的理解也应宽泛，既包括教师的知识讲解分析过程和问题解决的思维分析过程，也包括接受、记忆数学知识的过程，借以理解教科书的内容诊释，获取理性思维的训练；还包括模仿、演练、巩固的过程，借以获得知识应用的体验，也包括质疑、提问、探索、论证的过程，经历创新发展的感受。

（二）重视直观，处理好直观与抽象的关系

直观是通过对客观事物（实物、模型、图像、语言）的直接接触获得感性认识的过程。传统教学论中的直观性原则，得感性认识并逐渐上升到理性认识就是要从具体、形象、生动的事物出发，使学生获。直观与抽象是一对范畴，基于数学课程和学生认知发展的特点，课程内容组织应从直观人手，引导学生通过观察、分析、归类、综合等方法进行抽象概括，揭示事物的数量关系及空间形式特征，从而得出正确的结论。随着学生年级的升高和抽象思维能力的增强，可逐渐减少学生对直观演示的依赖性，提高学生的抽象思维能力。

直观是手段，抽象是直观的发展。由抽象到抽象，学生难以理解教学内容；为直观而直观，则会使教学仅仅停留在直观演示上。教学过程中教师要在加强直观演示的基础上，帮助学生抽象归纳出事物现象的数学特征和规律。

（三）重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系

数学课程内容就所含有的知识而言虽然都是间接知识，是前人的数学发现和实践的结晶，但在以这些知识来组织数学课程内容时，必须考虑学生的直接经验。因为学习间接经验须以学生的直接经验为基础，直接经验是学习间接经验的手段和工具。重视直接经验，就是重视学生与现实生活世界的联系，强调数学与生活的联系，贴近学生的生活实际。

事实上，学生的直接经验是数学学习得以进行的根基和源泉，是学生学习活动的起点和基础，是学习间接经验的“消化酶”和“活化器”。如果我们不重视学生的直接经验，就会忽视学生对知识的探究和发现过程的真实体验，那么，学生获得的间接经验就只能是一堆“没有活力的死知识”。所以，必须充分认识到学生的直接经验对他们身心发展的重要作用和价值，重视学生的数学实践体验和数学活动经验的获得，以直接经验来丰富、扩展和提升学生的理性认识，打通数学课程与生活世界之间的壁垒，把生活实践中的教育资源与课程知识融会贯通，从而发挥直接经验对数学学习的积极作用。

重视直接经验，但并不是处处要求直接经验，或都是从“学生已有的生活经验出发”，能够结合学生已有的生活经验学习数李当然好，但是，学生的生活经验毕竟有限，支撑不了整个数学课程体系，更为关键的是许多数学知识离日常生活经验也很远。众所周知，人不能事事都直接经历，用接受性学习方法获得间接知识，也是普遍的学习规律。因此，数学课程内容的组织必须正确处理直接经验与间接经验的关系，不可片面强调“学生的已有生活经验”，创设情境、模拟实际、利用抽象模式开展数学学习都是可行的。

四、课程内容的呈现

课程内容的呈现应充分考虑学生的认知发展规律和特点，注意课程内容呈现的层次性和多样化。

（一）层次性

课程内容的呈现具备层次性，才能使教材成为一个前后相继的结构系统。奥苏倍尔认为：学科课题内容首先应该给出该课题中最一般的、范围最广泛的概念和原理，然后再把更加分化的下属概念和事实纳人课题之中，这就是教材呈现方式的层次化原则。按照这个原则，数学课程必须首先安排最一般、最基本的概念和原理，然后逐次呈现其从属概念和下位原理。例如，在几何中先安排点、线、面的概念作为课程的起点，进而呈现直线、三角形及圆的知识，这种呈现方式就使教材具有了鲜明的层次性。

（二）多样化

课程内容的呈现还应注重多样化。由于小学生以形象思维为主，课程内容的呈现应采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多样的形式，使教学内容以直观形象、图文并茂、生动有趣的方式呈现，以提高学生的学习兴趣，满足学生多样化的学习需求。在选择或设计表现形式时，不仅要考虑它的外在趣味性，还要考虑怎样才能形象、直观地表现数学的内涵，并恰如其分地把握好课程的目标要求。呈现形式的多样化，能够保证学生积极、主动地参与整个学习过程，培养他们对数学学习的兴趣。