第一节 数学与数学教育

 “什么是数学”，数学具有什么样的特征？这既是一个经典的问题，又是制定数学课程标准首先要回答的一个问题。

一、数学

关于什么是数学，《标准（2011年版）》定义为“数学是研究数量关系和空间关系的科学”，这对义务教育阶段的数学来说是比较合适的。

（一）数学是研究数量关系和空间形式的科学

回顾《标准（实验稿）》，把数学看成是“人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”，尽管秉持的是后现代知识观，但把数学看作一个过程，无论是刻画的过程还是抽象概括的过程或是应用的过程，都超越了当下数学教师的知识观。张奠宙教授曾就此指出：数学是一种认识，一种科学，一种思想体系，“数量关系和空间形式”至今依然是界定数学的关键词，不可随便绕开。《标准（2011年版）》回归了“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的观点。

把数学看成是“研究数量关系和空间形式的科学”，有两层含义。第一层含义是说数学是一门“科学”，这可从三个方面来理解。首先，数学的概念、公理、定理、公式、法则等都源于客观世界，正确反映了客观世界在数与形方面的规律性，数学结论经历了“千锤百炼”，被证明是经受了人类长期实践检验的客观真理，在可预见的时间范围内，这些结论仍旧是客观真理。其次，数学已经建立了严密的知识体系，现代数学大致包括纯粹数学、计算数学、应用数学、统计学及运筹学等几大分支。数学理论体系在逻辑上具有严密性，数学结论具有确定性。最后，数学理论在实践活动中有着广泛应用，并在实践活动中不断丰富、发展。第二层含义是说数学的研究对象是“数量关系和空间形式”，这可从两个方面来理解。首先，数学尽管以确定的完全现实的材料作为自己的研究对象，但它考察对象时完全舍弃其具体内容和质的特点，只取其数量关系或空间形式。其次，除了直接从现实世界抽象出来的量的关系和空间形式外，数学还研究在数学内部以已形成的数学概念和理论为基础定义出来的更为抽象的关系和形式，即“抽象基础上的再抽象”，甚至随着数学科学的发展，数学对象已经超越对数量关系和空间形式的最初理解的范围，扩展到了“纯粹的数学构造物”。但就义务教育阶段的数学而言，还没有脱离“数量关系和空间形式”的基本理解。

（二）数学的特征

著名的数学及数学史家克莱因曾对数学的特征进行过清晰的描述和刻画，第一是基本概念的引人；第二是抽象；第三是理想化；第四是运用的推理方法；第五是符号体系的运用。但是，关于数学的特征，人们一般还是喜欢用苏联数学家A.D．亚历山大洛夫的“三性”来描述，即抽象性、精确性、广泛应用性。

1. 抽象性

高度的抽象性是数学的显著特征之一。首先，数学只保留量的关系和空间形式而舍弃了事物的其他一切，而且它的抽象是经过一系列阶段而产生的，其所达到的抽象程度远远超过了自然科学中一般的抽象。其次，数学理论具有非常抽象的形式，不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。

2．精确性

数学体系的精确性是数学的另一个显著特征。数学结论的正确性表现为逻辑的严格性，数学推理的进行具有很大的精密性。早在两千多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门系统严密的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝人扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。

3．广泛的应用性

广泛的应用性也是数学的一个显著特征。其实，几乎每时每刻的生活、生产、科学研究中都运用着普通的数学概念和结论，放眼望去，长短、多少、轻重、暗亮，无不用数学去衡量，观察四周的时钟、飞机、自行车、微波炉，它们的作用、属性完全不同，但它们无不包含着数学信息。20世纪以来，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的领域。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。随着现代信息技术的飞速发展，数学已被广泛应用于社会生产和日常生活的诸多方面。社会生产中的结构调整、作物布局、饲料配方等许多问题都可视为数学问题，解决这些问题可通过建立线性规划数学模型，从中求出问题的最优解。数学统计可以在一定范围内预测天气变化情况，这给工农业生产带来巨大效益，给人们的日常出行带来极大的方便。真可谓“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。

（三）数学是人类文化的重要组成部分

数学曾被柏拉图视作人类文化的最高理想。数学作为一种主要的智力活动的传统是必须传给后代的人类文化遗产的最好部分。数学在人类文明中的地位绝不亚于语言、艺术和宗教，同是影响人类文明全局的部分。数学作为人类文化的一个深刻而强有力的部分，已经渗透到各个领域之中，影响着人类的文化生活。正如意大利罗马大学数学教授密查利·爱玛在《数学与文化》中所指出的，“数学的结构与思想能够很有效地应用到我们称之为‘现实的’世界。我们只需回想一下物理、天文、测量学、电信、生命密码和医药，它们都离不开数学，但这还不是全部，数学过去也总是与音乐、文学、建筑、艺术、哲学相联系，现在又与戏剧、电影有关”。②数学公式的简洁美、几何图形的构造美、推理论证的严谨美，其所折射出的精确、抽象、公理化的思维方式，务实求真的理性精神，不断超越及自我否定的创新气度，更是数学所蕴涵的更为丰富、广远的文化价值。音乐、绘画、雕塑……所有门类的艺术都通过这样或那样的方式得到数学的帮助，正如日本雕塑家潮惠三所说：“数学是宇宙语言。”

数学的突出特性之一就是其严谨的逻辑性，反映在数学教育中，就是数学基础的重要性。如果没有好的数学基础，那么以后学习更高级的数学就会困难。许多时候人们都把“差生”的产生归因于数学教育，由于数学“差”才致使其成为“差生”。不管这种说法的合理性如何，都值得反思，为什么数学容易产生“差生”，其实，归根结底是因为数学的逻辑性强，强调基础性。如果前期数学没有掌握好，后继数学的学习就会出现障碍，在数学的逻辑链条中，一个环节出了问题，就可能影响后面的全部，踏实学好每一步是数学学习特别应该注意的。对数学而言，小学数学教育是奠定数学基础的关键阶段，必须高度重视这个阶段的学习，切实打好后继学习所需要的基础。当然，不仅仅是知识基础，也包括数学情感、兴趣方面的基础。

二、数学教育

课标摘要

《数学课程标准》对“课程基本理念”的表述为：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”

 

这一基本理念是贯穿整个数学教育始终的总纲，重点从两个方面理解，即：“人人都能获得良好的数学教育”；“不同的人在数学上得到不同的发展”。良好的数学教育是面向全体学生、全面提高学生数学素养的教育。这是对数学教育共同的要求。不同的人在数学上得到不同的发展是基于学生的差异性提出的要求，即学生在具体数学学习的结果上可以有不同的水平。下面重点阐述如何理解良好的数学教育。

所谓“良好的数学教育”就是对学生进行符合教育规律的、有助于学生发展的数学教育，可以从以下三个方面理解。

（一）良好的数学教育有助于学生的发展

促进学生的发展、提高学生的数学素养是数学教育的出发点和归宿。良好的数学教育首先应当是有助于学生发展的数学教育。具体表现在三个方面：一是面向全体学生的数学教育。义务教育阶段的数学课程是面向每一位学生，使全体学生都得到发展的教育。这是义务教育的性质决定的，体现了义务教育的基础性、普及性与发展性，数学教育也不例外。二是满足特殊群体发展需要的数学教育。特殊群体既包括在数学方面有特殊潜能的学生，也包括在数学学习上存在一定困难的学生。对于前者应采取措施实施数学英才教育，给这些学生提供更多的学习空间和学习资源，使他们得到应有的发展；对于后者，要为他们学习数学提供特别的帮助。三是为学生提供充分发展空间的数学教育，这体现在采用多样的教学方式、创造多样的教学情境与活动、提供思考的时间与空间方面。

下面通过一个教学案例了解如何在教学中选用多样的教学方式，为学生充分提供丰富的情境和发展空间。

案例：“时分的认识’教学片段（刘松执教）

在这个案咧中，教师为学生创设了丰富的教学情境，给学生充分的活动空间和表达机会。教师采用对话教学、情境教学、多媒体教学等多种教学方式，设计“龟兔赛跑”故事等有趣的情境，把龟、兔跑步快慢与分针、时针的快慢联系起来，提升学生学习的兴趣，加深学生学习印象。教师通过师生交流，让学生独立活动或参与交流，以及设计丰富的教育情境让学生思考，对学生了解数学教育的本质有很大帮助。

 

（二）良好的数学教育要适应社会发展的需要

义务教育是培养未来合格公民的教育，数学教育应当为学生成为适应社会发展的公民服务。因此，数学课程内容的选择和方法的确定要有助于学生了解社会，体会数学在社会发展和学生生活中的价值和作用。《数学课程标准》冲的设计有意识地体现了这方面的要求，教材的编写也充分考虑这方面的需要。具体表现在以下几个方面。

一是在课程内容的选择方面，加强统计与概率、百分数、图形与位置等课程内容，百分数、图形、位置、路线图等在实际教学中运用得较广泛。社会发展要求信息传播形式多样化，这也促使人们使用数学的方式发生着变化，影响着数学课程内容的选择。

二是教材情境的选择方面，重视社会与生活现实的素材。现实情境越来越多地成为教材编写的素材来源。

三是教学情境的创设方面，注重综合与实践活动，更加关注现实问题。

通过这样的教学设计，使学生理解数学学习与社会和学生生活密切联系，将数学与其他学科内容整合，同时对学生进行节约用水、保护环境的思想教育。

（三）良好的数学教育应考虑数学学科发展

义务教育阶段的数学课程内容以初等数学为主，虽然基本的内容范围比较稳定，但随着数学学科的发展，一些新的领域和新的技术也在不断影响数学课程与教学。学科内容的选择也应考虑学科本身的发展和变化。一方面，数学学科内容的范围要考虑数学内容领域的更新。例如，统计与概率等内容成为义务教育数学课程的重要内容。另一方面，现代数学的新进展促进了数学学科的发展。例如，计算机的普遍应用，使得珠算的学习不再作为基本技能的要求，在大数据背景下，计算机计算逐渐取代了纸笔运算或口算。

总之，良好的数学教育是对数学教育的总体要求，体现在数学课程目标、内容、方法、评价等各个部分，使学生获得良好的数学教育，使不同的学生获得不同的发展。以上只是从几个侧面进行的阐述，在具体内容教学中还需要进一步理解与把握。