功

在初中，我们已经学过有关功的初步知识。一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。例如，人拉车前进，车在人的拉力作用下发生了一段位移，就说人的拉力对车做了功。

如果物体在恒力F 作用下，沿力F 的方向发生的位移是s，，如下图所示，那么，力F 对物体做的功为W=Fs。功是标量。功的SI单位是J。 

力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。例如，一个物体在光滑的水平面上匀速直线运动，因为物体在位移方向上没有受力，所以，没有力对小球做功；某人举着一个物体向前匀速运动，虽然用了力，但在力的方向上没有位移，所以，他也没有做功。

在实际生活和生产中，物体的运动方向并不总是跟力的方向相同，当力的方向跟运动方向成某—角度α 时，如下所示，怎样来计算这个力做的功呢? 

我们可以把力F分解成与位移方向平行的分力F1和与位移方向垂直的分力F2，如下所示。

在物体发生位移s的过程中，由于物体在F2的方向上没有发生位移，因此，F2对物体做的功等于零；F对物体做的功W就等于F1s，而F1=Fcosα，所以 W=Fscosα

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移间夹角的余弦这三者的乘积。

讨论：

当α＝0时， cosα＝1，W＝Fs，力和位移方向相同，力对物体做正功。

当0＜α＜90°时，cosα＞0，W为正值，力对物体做正功。

当α＝90°时，cosα＝0，W＝0，力和位移方向垂直，力对物体不做功。

当90°＜α＜180°时，cosα＜0，W为负值，力对物体做负功。

当α＝180°时，cosα＝－1，W＝－Fs，力和位移方向相反，力对物体做负功。

一个力对物体做负功，表示这个力阻碍物体的运动。因此，当力对物体做负功时，常说物体克服这个力做功。例如，当摩擦力对物体做负功时，也可以说物体克服摩擦力做功。

如果公式W=Fscosα中的F是几个力的合力，那么式中的α是合力方向与物体位移方向间的夹角，W就是合力做的功。可以证明，合力做的功等于各个分力做功的代数和。

[例题1]    一个质量为150 kg的小车，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力500 N，在水平地面上移动的距离为5 m。物体与地面间的滑动摩擦力为100 N，求合力对物体做的功。

分析   小车在水平地面上移动时，受到重力G、支持力FN、拉力F和摩擦力Ff四个力的作用，如图所示。由于重力G、支持力FN的方向与小车的位移方向垂直，不做功，因此合力做的功就是拉力F和摩擦力Ff做功的代数和。

解    拉力做的功：  WF＝Fscosα＝500×5×cos37°J＝2 000 J

摩擦力做的功：WFf＝－Ffs＝－100×5 J＝－500 J

合力做的功：  W合＝WF＋WFf＝2000－500 J＝1 500 J

功率

不同物体做相同的功，所用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢不相同。一台起重机能在1 min内把1 t货物提到楼顶，另一台起重机只用30 s就可以做相同的功。第二台起重机比第一台做功快一倍。

在物理学中，用功率来表示做功的快慢程度，功W 跟完成这些功所用时间t 的比值，叫做功率。用P 表示功率，则有

功率是标量。功率的SI单位是W。

电动机、内燃机等动力机械都标有额定功率，这是在正常条件下可以长时间工作的功率。实际输出功率往往小于这个数值。例如，某汽车内燃机的额定功率是100 kW，但在平直公路上中速行驶时，发动机实际输出的功率只有20  kW左右。在特殊情况下，例如在穿越障碍时，司机通过增大供油量可以使实际输出的功率大于额定功率，但这对发动机有害，只能工作很短的时间，而且要尽量避免。

把W = Fs代入功率的公式，可得 P = Fv

即功率等于力和物体运动速度的乘积。从公式可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P 一定时，牵引力F 和速度v 成反比。

汽车发动机的转动通过变速箱中的齿轮传递到车轮，转速比可以通过变速杆来改变。发动机的最大输出功率是一定的，所以汽车在上坡时，司机要用“换挡”的方法减小速度，来得到较大的牵引力。在平直公路上，汽车受到的阻力较小，需要的牵引力也较小，这时就可以使用高速挡，使汽车获得较高的速度。

 然而，在发动机功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的。所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率，这就是高速火车、汽车和大型舰船需要大功率发动机的原因。

 [例题2]    某汽车发动机的额定功率是6.0×W，在水平路面上行驶时受到的阻力是1.8×N，求发动机在额定功率时汽车匀速行驶的速度。在同样的阻力下，如果行驶速度只有54 km/h，发动机输出的实际功率是多少？

分析    汽车匀速行驶时，牵引力和阻力相等。由发动机的额定功率和牵引力，利用公式P = Fv即可求出速度。当汽车牵引力不变，而速度减小时，发动机的实际输出功率也可由公式P = Fv求出。

解    当发动机的额定功率P1＝6.0× W，牵引力F＝1.8× N时，

由于 P1＝Fv1

所以 

 当牵引力F不变，速度v2＝54 km/h＝15 m/s时，有

          P2＝Fv2＝1.8××15 W＝2.7× W