例1-1：简述测量、检测、测试和计量的联系和区别。

答：测量是指将被测量与同性质的标准量进行比较，确定被测量对标准量的倍数。并用数字表示这个倍数的过程，即是为取得被测对象某一属性的量值而做的全部工作。检测包括检验和测量两方面的含义，其中校验是分辨出被测量的取值范围，以此来对被测量进行合格与否的判断。测试是具有试验性质的测量，是测量和试验的综合。计量是指用准确度等级更高的标准量具、器具或标准仪器，对被测样品、样机进行考核性质的测量，通常具有离线和标定的特点。

重点理解测量概念。测量就是用实验的方法，将被测量的物理量与选取单位的同类量进行比较，确定被测参数的过程。

例1-2：以“曹冲称象”为例，分析测量的构成要素有哪些。

答：测量构成要素有：测量对象与被测量；测量环境；测量方法；测量单位；测量资源，以及测量结果。其中，被测对象是大象，被测量是质量，测量环境是常温常压，测量方法是相对测量比较法，测量单位是质量单位，测量资源包括船、河水、石头和人员，经数据处理后，获得测量结果即为大象的质量。

通常测量过程可简化为三大要素：测量单位、测量方法和测量工具。

例1-3：为什么当测量次数ｎ无限增加时，等精度测量的算术平均值趋于真值？

解：设真值为μ，一列ｎ次等精度测量所得到的ｎ个测定值ｘi 为随机变量，其算术平均值为样本平均值的代数和除以样本容量，即：

随机误差为：

两边求和得：

根据随机误差正态分布特性，当ｎ→∞：

将此式代入上式得：

在数理统计中，所研究的随机变量Ｘ取值的全体或集合，称为总体；随机变量的真值μ称为总体均值，测量次数ｎ→∞时，Ｘ的极限值称为该测量值的数学期望。

例1-4：对某精度等级为1.0级，量程范围０～1.00 MPa的压力表，求测量值分别为ｘ1＝1.00MPa，ｘ2＝0.80MPa，ｘ3＝0.20MPa时的绝对误差和示值相对误差。

解：根据基本误差（精度等级）定义，（最大）绝对误差Δｘｍ为：

式中　δｊ ———由精度换算的引用相对误差；

           lｍ ——— 仪表量程。

测量值为1.00MPa、0.80MPa、0.20MPa时，其示值的相对误差分别为：

同一量程内，测量值越小，示值的相对误差越大。

例1-5：用光学高温计测量某金属铸液的温度，得如下５个测量数据（℃）：975，1005，988，993，987。设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。求铸液的实际温度（置信概率取99.73％）。

解：算术平均值及其标准偏差分别为：

由题已知，Ｐ＝99.73％，查表１⁃１得，ｋ＝３。

实际温度即真值为：μ＝989.8±３×4.7＝989.8±14.1℃。

例1-6：某一气体流通断面的速度ｕi 测量值见表１⁃２。

求：（１）测量速度的最佳值和标准偏差；（２）置信区间，置信概率按90％和95％计算。

解：（１）第５次测量数据25.3属于可疑点，暂时先不考虑。取其他９次所测数据求出测量速度的最佳值。算术平均值为：

计算各次测量速度值的残差，列于表１⁃３。

观察残差值ｖｉ，变化并不规则，估计不存在系统误差。求出平均误差＝0.259，可疑点，故将第５次测量值剔除掉。用标准法计算标准偏差，由贝塞尔公式

用最大残差法计算标准误差，当ｎ＝９时，查表１⁃４，ｋｎ＝0.59，

算术平均值的标准偏差σａ＝，取σ＝0.36时，σａ＝0.12；取σ＝0.3953时，σａ＝0.13。

（２）写出测量表达式，按照，根据式（１⁃７）和式（１⁃８），查表１⁃５，置信概率在90％、95％时，置信概率系数ｋｉ，分别为1.860、2.306。其结果见表１⁃６。

例1-7：在同样条件下，一组重复测量值的误差服从正态分布，求误差不超过σ、２σ、３σ的置信概率Ｐ。

解：根据题意，ｚ＝１，２，３。从表１⁃７中查得ϕ（１）＝0.68269，ϕ（２）＝0.95450，ϕ（３）＝0.997300，因此

相应地，显著性水平

相应地，显著性水平

相应地，显著性水平

由上例可见，对于一组重复测量中的任何一个测量值来说，随机误差超过±３σ的概率仅为３％以下，超过±２σ的概率为５％以下，可以认为是小概率事件，因此，人们常把３σ或２σ称为随机不确定度，也称极限误差。

例1-8：对恒转速下旋转的转动机械的转速进行了20次重复测量，得到表１⁃８一组测量数据，求该转动机械的转速（要求测量结果的置信概率为95％）。

解：（１）计算测量值子样的平均值：

（２）计算标准误差的估计值：

为计算方便，上式可改写为：

（３）求平均值的标准误差：

（４）对于给定的置信概率，其置信区间半长为ａ。根据题意，有

即

设，记作，则

查表１⁃７得ｋ＝1.96，所以ａ＝1.96，≈0.9 r/min。测量结果可表示为：

实际测量工作中经常只能做单次测量，但如果已经得到同样测量条件下的标准误差估计值σ，则可用下式求测量结果Ｘ：

Ｘ＝单次测量值±置信区间半长　（Ｐ＝置信概率）

例如：Ｘ＝单次测量值±３σ（Ｐ＝99.73％）；Ｘ＝单次测量值±２σ（Ｐ＝95.45％）。