知识框架】

【考点提示】

（1 ）统计量的判断 ：统计量不包含任何未知参数（选择题考点）；

（2）由正态分布导出的几个重要分布及其应用（选择题、简答题、计算 题、证明题考点）；

（3）样本均值的分布与中心极限定理的内容及其应用（选择题、简答 题、计算题考点）。

【核心考点】

考点一：统计量

  1   统计量的概念

统计量不含任何未知参数。

【注意】本考点非常重要 ，常考形式为 ：给出四个选项 ，选择属于统计 量的选项。

2  常用统计量

表6-1    常用样本统计量

【知识拓展】有些教材中 ，样本k阶中心矩计算公式为 ：

考点二：由正态分布导出的几个重要分布

  1   χ2分布

（1 ）定义

设随机变量X1，X2 ，ⅆ,Xn相互独立 ，且Xi（i＝1，2 ，ⅆ,n）服从标 准正态分布N（ 0 ，1），则 服从自由度为n的χ2分布。

（ 2 ）χ2分布的性质

① χ2分布的期望和方差 ：E( χ2  ）＝n ，方差D( χ2  ）＝2n；

② χ2分布的可加性 ：若χ12~ χ2（ n1 ），χ22 ~ χ2（ n2 ），且相互独立，则χ 12 +χ22 ~ χ2（n1＋n2 ）；

③ χ2分布是一种非对称分布，且一般为正偏分布。当自由度n→∞时 ，χ2

分布的极限分布是正态分布；

④ 当自由度n很大时 ，近似服从 ；当自由度n＞45时

其中 ，μp为标准正态分布的p分位数 ，χp2（ n）为χ2（ n ）的p分位数。

2  t分布

（1 ）定义

设随机变量X～N（ 0，1），Y ~ χ2（ n），且X与Y独立 ，则的 分布称为t分布 ，记为t（ n），其中n为其自由度。

（ 2 ）t分布的性质

①t分布的密度函数是偶函数 ，关于y轴对称 ，且存在n－1阶矩。当n≥2  时 ，t分布的数学期望E（ t）＝0；当n≥3时 ，t分布的方差D（t）＝n/（ n-2 ）。

② 自由度n越大 ，t分布的密度函数越接近标准正态分布的密度函数。一般地 ，当n≥30时 ，t分布接近标准正态分布 ，因此检验时既可以选择t统计量也可以选择z统计量。

③t分布是一个分布族 ，不同的自由度对应着不同的分布 ，且其均值都为0。

④ 与标准正态分布相比 ，t分布的中心部分较低 ，两个尾部较高。

⑤变量t的取值范围在 -∞与 +∞之间。

（ 3 ）与t分布有关的抽样分布

①设X1，X2 ，ⅆ,Xn是来自正态分布N(μ,σ2 ）的一个样本 ，

,则

②设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ 1 ，σ2 ），Y～N(μ2 ，

σ2 ），X1 ，X2 ，ⅆ,Xn是来自X的一个样本 ，Y1 ，Y2 ，ⅆ,Ym是来自Y的一个样本 ，记

则

3   F分布

（1 ）定义

设随机变量Y与Z相互独立 ，且Y和Z分别服从自由度为m和n的χ2分布 ，

随机变量X有 ：

则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布 ，简记为X ~F（ m ，n ）。

（ 2 ）F分布的性质

① E（ X ）＝n/（ n－2 ），n＞2； 

②Fp（ v1 ，v2  ）＝1/F1－p（ v2 ，v1 ）。

③若随机变量X～t（ n）分布 ，则X2～F（1，n ）。此性质常用于回归 分析的回归系数显著性检验中。

考点三：样本均值的分布与中心极限定理

  1   样本均值的分布

（ 1 ）对于任意均值为μ , 方差为σ2的总体 ，有E（ X(＿)）= μ , D（ X(＿)）= σ2/n。

（ 2 ）当总体分布为正态分布N ( μ , σ2 ）时 ，X(＿)～N ( μ , σ2/n ）。

（ 3 ）对于任意总体 ，当n较大时 ，X(＿) N ( μ, σ2/n ）。

2   中心极限定理

设从均值为μ,方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样

_

本，当n充分大时 ，样本均值X的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。