二、练习题
1．写出下列随机试验的样本空间：
（1）记录某班一次统计学测验的平均分数；
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到绿灯的次数；
（3）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。
解：（1）平均分数是范围在 0～100 之间的一个连续变量，所以平均分数的样本空间 Ω＝[0，100]。
（2）遇到的绿灯次数是从 0 开始的任意自然数，所以样本空间 Ω＝N。
（3）之前生产的产品中可能无次品也可能有任意多个次品，所以样本空间 Ω＝{10，11，12，13，„}。
2．某人花 2 元钱买彩票，他抽中 100 元奖的概率是 0.1%%，抽中 10 元奖的概率是 1%%，抽中 1 元奖的概率是
20%%，假设各种奖不能同时抽中，试求：
（1）此人收益的概率分布。
（2）此人收益的期望值。
解：（1）设 X 为此人的收益，抽中 100 元奖时的收益为 100－2＝98（元），抽中 10 元奖时的收益为 10－2
＝8（元），抽中 1 元奖时赔 1 元，抽中 0 元奖时赔 2 元，则
P（X＝98）＝0.001，P（X＝8）＝0.01
P（X＝－1）＝0.2
P（X＝－2）＝1－P（X＝98）－P（X＝8）－P（X＝－1）＝0.789
（2）E（X）＝98×0.001＋8×0.01＋（－1）×0.2＋（－2）×0.789＝1.6
3．设随机变量 X 的概率密度为：
f（x）＝3x2/θ3，0＜x＜θ
（1）已知 P（X＞1）＝7/8，求 θ 的值。
（2）求 X 的期望值与方差。
解：（1）由 P（X＞1）＝7/8 可得：P（X≤1）＝1－P（X＞1）＝1/8，即
解得：θ＝2。所以，随机变量 X 的概率密度为：f（x）＝3x2/8，0＜x＜2。
（2）由 X 的概率密度可得期望值为：
又
因此
4．一张考卷上有 5 道题目，同时每道题列出 4 个备选答案，其中有一个答案是正确的。某学生凭猜测能答 对至少 4 道题的概率是多少？
解：设 X 为答对题的数目。由题意知，答对一道题的概率为 1/4。那么 X～B（5，1/4），于是答对至少 4 道 题的概率为：
5．设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 P{X＝1}＝P{X＝2}，求 P{X＝4}。 解：由泊松分布的公式有：
P（X＝1）＝λe－λ
P（X＝2）＝λ2e－λ /（2!）
由 P{X＝1}＝P{X＝2}得：λ＝2。
因此 P（X＝4）＝24×e－2÷4!＝2/（3e2）。
6．设 X～N（3，4），试求：（1）P{|X|＞2}；（2）P{X＞3}。 解：（1）
（2）由于 N（3，4）关于均值 3 对称，所以 P{X＞3}＝1/2。
7．一工厂生产的电子管寿命 X（以小时计算）服从期望值 μ＝160 的正态分布，若要求 P{120＜X＜200}≥0.08， 允许标准差 σ 最大为多少？
解：由
可得：Φ（40/σ）≥0.54，查表得：40/σ≥0.1004，故 σ≤398.41。即允许标准差 σ 最大为 398.41。
8．一本书排版后一校时出现错误处数 X 服从正态分布 N（200，400），求：
（1）出现错误处数不超过 230 的概率。
（2）出现错误处数在 190～210 之间的概率。 解：（1）
可得：Φ（40/σ）≥0.54，查表得：40/σ≥0.1004，故 σ≤398.41。即允许标准差 σ 最大为 398.41。
8．一本书排版后一校时出现错误处数 X 服从正态分布 N（200，400），求：
（1）出现错误处数不超过 230 的概率。
（2）出现错误处数在 190～210 之间的概率。 解：（1）
（2）
