二、练习题
1．一家汽车零售店的 10 名销售人员 5 月份销售的汽车数量（单位：台）排序后如下：
24710101012121415
要求：
（1）计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。
（2）根据定义公式计算四分位数。
（3）计算销售量的标准差。
（4）说明汽车销售量分布的特征。
解：（1）10 名销售人员 5 月份销售的汽车数量中，销售 10 台汽车的人数最多，为 3 人，因此众数 M0＝10。
中位数位置＝（n＋1）/2＝（10＋1）/2＝5.5，所以 Me＝（10＋10）/2＝10（台）。 平均数
（2）由题中数据可得：
QL 位置＝n/4＝10/4＝2.5
即 QL 在第 2 个数值（4）和第 3 个数值（7）之间 0.5 的位置上。因此
QL＝（4＋7）/2＝5.5（台）
由于 QU 位置＝3n/4＝3×10÷4＝7.5，即 QU 在第 7 个数值（12）和第 8 个数值（12）之间 0.5 的位置上，因 此 QU＝（12＋12）/2＝12（台）。
＿
（3）由平均数x＝9.6 可得：
（4）由于平均数小于中位数和众数，所以汽车销售量为左偏分布。
2．随机抽取 25 个网络用户，得到他们的年龄数据如表 4-2 所示。
表 4-2网络用户的年龄数据（单位：周岁）
19 | 15 | 29 | 25 | 24 |
23 | 21 | 38 | 22 | 18 |
30 | 20 | 19 | 19 | 16 |
23 | 27 | 22 | 34 | 24 |
41 | 20 | 31 | 17 | 23 |
要求：
（1）计算众数、中位数。
（2）计算四分位数。
（3）计算平均数和标准差。
（4）计算偏态系数和峰态系数。
（5）对网民年龄的分布特征进行综合分析。
解：（1）对表 4-2 中数据按从小到大顺序排列： |
|
151617181919 | 19 | 2020 | 212222 |
|
232323242425 | 27 | 2930 | 313438 | 41 |
由排序数据可知，年龄出现频数最多的是 19 和 23，都出现 3 次，所以有两个众数，即 Mo＝19 和 Mo＝23。 由于中位数位置＝（n＋1）/n＝（25＋1）/2＝13，所以 Me＝23（岁）
因此
QL＝19＋0.25×（19－19）＝19（岁）
由于 QU 位置＝3×25/4＝25/4＝18.75，即 QU 在第 18 个数值（25）和第 19 个数值（27）之间 0.75 的位置上， 因此
QU＝25＋0.75×（27－25）＝26.5（岁）
（3）平均数
＿
由平均数x＝24 可得：
（4）偏态系数
峰态系数
（5）对网民年龄的分布特征进行综合分析的结果如下：从众数、中位数和平均数来看，网民年龄在 23 岁左
右的人占多数；标准差较大，说明网民之间的年龄差异较大；偏态系数大于 1，表明网民的年龄分布为右偏，且 偏斜程度很大。峰态系数为正值，是尖峰分布，表明网民的年龄分布较为集中。
3．某电商 6 月份各天的销售额数据，如表 4-3 所示。
表 4-3某百货公司 6 月份的销售额数据（单位：万元）
257 | 276 | 297 | 252 | 238 | 310 | 240 | 236 | 265 | 278 |
271 | 292 | 261 | 281 | 301 | 274 | 267 | 280 | 291 | 258 |
272 | 284 | 268 | 303 | 273 | 263 | 322 | 249 | 269 | 295 |
要求：
（1）计算该百货公司日销售额的平均数和中位数。
（2）计算四分位数。
（3）计算日销售额的标准差。 解：（1）由日销售额的平均数为：
将表 4-3 中数据排序可得：
236238240249252257258261263265
267268269271272273274276278280
281284291292295297301303310322
中位数位置＝（30＋1）/2＝15.5，因此
Me＝（272＋273）/2＝272.5
（2）由于 QL 位置＝30/4＝7.5，即 QL 在第 7 个数值（258）和第 8 个数值（261）之间 0.5 的位置上。因此
QL＝（258＋261）/2＝259.5
由于 QU 位置＝3×30÷4＝22.5，即 QL 在第 22 个数值（284）和第 23 个数值（291）之间 0.5 的位置上。因 此
QU＝（284＋291）/2＝287.5
＿
（3）由日销售额的平均数x＝274.1 可得：
4．在某地区抽取 120 家企业，按利润额进行分组，结果如表 4-4 所示。
表 4-4某地区 120 家企业利润额资料
按利润额分组（万元） | 企业数（个） |
200～300 300～400 400～500 500～600 600 以上 | 19 30 42 18 11 |
合计 | 120 |
要求：
（1）计算 120 家企业利润额的平均数和标准差。
（2）计算分布的偏态系数和峰态系数。 解：（1）平均数计算过程如表 4-5 所示。
表 4-5某地区 120 家企业利润额平均数计算过程表
按利润额分组（万元） | 组中值 Mi | 企业数 fi | Mifi |
200～300 300～400 400～500 500～600 600 以上 | 250 350 450 550 650 | 19 30 42 18 11 | 4750 10500 18900 9900 7150 |
合计 | — | 120 | 51200 |
由表 4-5 中数据可得：
标准差计算过程如表 4-6 所示。
表 4-6某地区 120 家企业利润额标准差计算过程表
按利润额分组（万元） | 组中值 Mi | 企业数 fi | ＿ （Mi－x）2 | ＿ （Mi－x）2fi |
200～300 300～400 400～500 500～600 600 以上 | 250 350 450 550 650 | 19 30 42 18 11 | 31212.3 5878.3 544.3 15210.3 49876.3 | 593033.5 176348.7 22860.1 273785.2 548639.2 |
合计 | — | 120 | 102721.5 | 1614666.7 |
由表 4-6 中数据可得：
（2）偏态系数和峰态系数的计算过程如表 4-7 所示。
表 4-7偏态系数和峰态系数计算过程表
按利润额分组（万元） | 组中值 Mi | 企业数 fi | ＿ （Mi－x）3fi | ＿ （Mi－x）4fi |
200～300 300～400 400～500 500～600 600 以上 | 250 350 450 550 650 | 19 30 42 18 11 | －104771226.5 －13520652.3 533326.9 33765928.7 122527587.6 | 18509932589.2 1036628411.8 12442517.1 4164351991.6 27364086138.8 |
合计 | — | 120 | 3 | 51087441648.4 |
由表中数据可得偏态系数为
由表中数据可得峰态系数：
5．一条产品生产线平均每天的产量为 3700 件，标准差为50 件。如果某一天的产量低于或高于平均产量， 并落入±2 个标准差的范围之外，就认为该生产线“失去控制”。表 4-8 是一周各天的产量，该生产线哪几天失去了控制？
表 4-8产品生产线产量资料
＿ ＿
解：由于x＝3700，s＝50，利用公式 zi＝（xi－x）/s 可以计算每天的标准分数，如表 4-9 所示。
表 4-9产品生产线产量的标准分数表
由表 4-9 中数据可知：周一、周六的标准分数的绝对值大于 2，所以周一和周六两天失去了控制。
6．一种产品需要人工组装，现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好，随机抽取 15 个工人，让 他们分别用三种方法组装。表 4-10 是 15 个工人分别用三种方法在相同的时间内组装的产品数量。
表 4-10工人用三种方法在相同的时间内组装的产品数量（单位：个）
方法 A | 方法 B | 方法 C |
164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165 | 129 130 129 130 131 130 129 127 128 128 127 128 128 125 132 | 125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125 |
要求：
（1）你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣？
（2）如果让你选择一种方法，你会作出怎样的选择？试说明理由。 解：（1）应该从平均数和标准差两个方面进行评价。在对各种方法的离散程度进行比较时，应该采用离散系
数。
（2）表 4-11 给出了用 Excel 计算一些主要描述统计量。
表 4-11描述统计量
方法 A 方法 B 方法 C
平均数 165.6 平均数 128.73 平均数 125.53 中位数 165 中位数 129 中位数 126 众数 164 众数 128 众数 126 标准差 2.13 标准差 1.75 标准差 2.77 极差 8 极差 7 极差 12 最小值 162 最小值 125 最小值 116 最大值 170 最大值 132 最大值 128
从三种方法的集中趋势来看，方法 A 的平均产量最高，中位数和众数也都高于其他两种方法。从离散程度 来看，三种方法的离散系数分别为：
＿
vA＝sA/xA＝2.13/165.6＝0.013
＿
vB＝sB/xB＝1.75/128.73＝0.014
＿
vA＝sC/xC＝2.77/125.53＝0.022
方法 A 的离散系数最小，即离散程度最小，因此应选择方法 A。
