二、由正态分布导出的几个重要分布

1．抽样分布 

统计推断的三个中心内容：抽样分布、参数估计和假设检验。

在总体 X 的分布类型已知时，若对任一自然数 n，都能导出统计量 T＝T（X1，X2，„，Xn）的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。

2．χ2 分布

（1）定义

设随机变量 X1，X2，„，Xn 相互独立，且 Xi（i＝1，2，„，n）服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和服从自由度为 n 的 χ2 分布，其自由度为独立变量的个数或二次型的秩，它决定了分布的形状。

（2）χ2 分布的性质

①χ2 分布的期望和方差：E（χ2）＝n，方差 D（χ2）＝2n；

拓展：χ2 分布的期望和方差证明：

②χ2 分布的可加性：若 χ12～χ2（n1），χ22～χ2（n2），且相互独立，则 χ12＋χ22～χ2（n1＋n2）；

χ2 分布是一种非对称分布，且一般为正偏分布，当自由度 n→∞时，χ2 分布的极限分布是正态分布；

当自由度 n 很大时，近似服从 ,当自由度n>45时

其中，μp 为标准正态分布的 p 分位数，χp2（n）为 χ2（n）的 p 分位数。

 3．t 分布

（1）定义

设随机变量 X～N（0，1），Y～χ2（n），且 X 与 Y 独立，则的分布称为 t 分布，记为 t（n），

其中 n 为其自由度。

（2）t 分布的性质

①t 分布的密度函数是一偶函数，关于 y 轴对称，且存在 n－1 阶矩。当 n≥2 时，t 分布的数学期望 E（t）

＝0；当 n≥3 时，t 分布的方差 D（t）＝n/（n－2）。

②自由度为 1 的 t 分布称为柯西分布，随着自由度 n 的增加，t 分布的密度函数愈来愈接近标准正态分布的 密度函数。实际应用中，一般当 n≥30 时，t 分布与标准正态分布就非常接近。

③t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应着不同的分布，且其均值都为 0。

④与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，两个尾部较高。

⑤变量 t 的取值范围在－∞与＋∞之间。

（3）与 t 分布有关的抽样分布

①设 X1，X2，„，Xn 是来自正态分布 N（μ，σ ）的一个样本，

则称为服从自由度为 n－1 的 t 分布。

②设 X 和 Y 是两个相互独立的总体，X～N（μ1，σ2），Y～N（μ2，σ2），X1，X2，„，Xn 是来自 X 的一个 样本，Y1，Y2，„，Ym 是来自 Y 的一个样本，记

则

4．F 分布

（1）定义

设随机变量 Y 与 Z 相互独立，且 Y 和 Z 分别服从自由度为 m 和 n 的 χ2 分布，随机变量 X 有如下表达式：

X = Y / m = nY

Z / n mZ

则称 X 服从第一自由度为 m，第二自由度为 n 的 F 分布，简记为 X～F（m，n）。

（2）F 分布的性质

①服从 F（m，n）分布的随机变量 X 的数学期望和方差分别为：E（X）＝n/（n－2），n＞2

②F 分布的 p 分位数 Fp（v1，v2）可查 F 分布表获得，且 Fp（v1，v2）＝1/F1－p（v2，v1）。这说明在 F 分布中，两个自由度的位置不可互换。

③F 分布与 t 分布的关系：如果随机变量 X 服从 t（n）分布，则 X2 服从 F（1，n）的 F 分布。此性质常用 于回归分析的回归系数显著性检验中。

三、样本均值的分布与中心极限定理

1．样本均值的分布

 ＿ ＿

（1）对于任意均值为 μ，方差为 σ2 的总体，有 E（X）＝μ，D（X）＝σ2/n。

 ＿

（2）当总体分布为正态分布 N（μ，σ2）时，那么，X的抽样分布服从 N（μ，σ2/n）。

 ＿

（3）对于任意总体，当 n 较大时，那么，X近似服从 N（μ，σ2/n）。

2．中心极限定理

（1）内容

 ＿

设从均值为 μ，方差为 σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值X的

抽样分布近似服从均值为 μ、方差为 σ2/n 的正态分布。

（2）作用

一般认为 n≥30 为大样本，n＜30 为小样本，中心极限定理说明了不仅从正态分布的总体中抽取样本时，样 本平均数这一统计量服从正态分布，即使是从非正态的总体进行抽样，只要样本容量 n 足够大，样本平均数也趋向服从正态分布。