教案

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数学史话　　线性代数发展简介

一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧　。　　　　―――付鹰

数学的历史是重要的，这是文明史的有价值的组成部分，与人类的进步和科学思想是一致的。F.Cajori

从事数学研究，发现新的定理的技巧是一回事，而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。V.Z卡兹

数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。　M.Kline

一、了解数学史的重要意义

数学是人类文明的一个重要组成部分，是一项非常重要的人类活动。与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。在学习数学时，我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。教材是将历史上的数学材料按照一定逻辑结构和学习要求加以取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、深化历程以及导致其深化的各种因素，由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同，所以，对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。

数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展的进步的历程。

通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律、通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。

二、代数学的历史发展情况

数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体来说，数学中研究数的部分，属于分析学范围。这二大类数学构成了整个数学本体的与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本节首要介绍一下代数学的历史发展情况。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元９世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔。花拉子米（约780－850）一本代数教程，书名的直译为（还原与对消的计算概要）。其书名中的aljabr这个词意为“还原”，它所指的意思是把方程式一边的负项移到方程另一端“还原”为正项；almuqabala意即“对消”或“化简”，在方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“aljalr”译为拉丁文“aljelra”一词后来被许多国家采用，英文词“algebra”就是阿拉伯文“algebr”的讹用。

在数学史上，阿拉伯伊斯兰数学家在代数领域的贡献广为人知。他们在巴比伦人取得的成果基础上结合经典的希腊几何遗产发展了代数学。他们最重要的贡献是“除非能够证明一个数学问题的解是成立的，否则便不能认为这个问题已经被解答”，伊斯兰数学家通常是用几何来证明代数规则的性质。

代数学家阿布。贾法尔。穆罕默德。伊本。穆萨。阿尔－花拉子米的传记材料，很少流传下来。一般认为他生于花拉子模，位于咸涨南部阿姆河的下游，现在是乌兹别克斯坦和土库曼斯坦的辖地，境内的人以花拉子米为姓。另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯得，祖先是花拉子模人。花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家。东部地区的总督马蒙曾在默夫召见过花拉子米。公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子到首都巴格达工作。公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”（是自公元前３世纪亚历山在博物馆之后最重要的学术机关），花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一。马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世。花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛时期。

花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域。他撰写了许多重要的科学著作。在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》。

1859年，我国数学家李善兰首次把“glgebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的“代数学”，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即；代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著“算术”（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想，故有“代数学之父”的称号。

代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，代数学包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。下面加以简单介绍。

１.   算术

算术给予我们一个用之不竭的，充满有趣真理的宝库。　　高斯

数可以说成是统治整个量的世界，而自述的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。　麦斯韦

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于10世纪或11世纪的印度。它被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被发展成现在的形式。在印度算术的里面，明显地存在着中国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算，而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来，后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念的逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，算术又是数学其它分支的最坚实的基础。

２初等代数

作为中学数学课程中主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两方面扩展的，其一是增加未知数的个数。考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组（主要是一次方程组）；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

古巴比伦（公元前19世纪－公元前17世纪）解决了一次和二次方程问题，欧几里得的（原本）（公元前４世纪）中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的“九章算术”（公元１世纪）中有二次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。３世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元求（李冶《测圆海镜》）是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

数学是一种符号语言，代数学答题发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为公元３世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为二世纪至１６世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。公元３世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学，开创了代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普遍地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半显示为由答题组成的数学速记，这些符号与所显示的内容没有什么的联系，称为符号代数。韦达在他的《分析法入门》著作中，首次系统地使用了符号未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的数学家，他的开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a、b、c等表示已知量，而用x、y、z代表未知量边种用法已经成为当今的标准用法。

“+”、“－”号第一次在数学书中出现，在1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》，不过正式成为大家所公认作为加减法运算的符号，则是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用现在使用的＝”，到15 91年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“〉”和小于号“〈”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符号。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”“≯”“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前４世纪，古希腊人发现无理数。公元前２世纪（西汉时期），我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺在“大术”中开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明了对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。

3.   高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为了线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量容量、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有未知量的任意方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的线性代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论――代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵，行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度、散度、旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样，（表示包括比率的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。而且已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展起来的，我们在下一节要进行更详细的介绍。

４数论

以正整作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但这不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因些可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

早在公元前３世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出求两个数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”；在写了从１到N的全部整数的纸草上，依次挖去２、３、５、７。。。。的倍数（各自的２倍，。。。）以及１，在这筛子般的纸草上留下使全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》（公元４世纪）中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论――――“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。丢番图的《算术》中给出了求x²+y²=z²所有整数解的方法。费尔马指出xⁿ+yⁿ=zⁿ在n>3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》（1801）形成了系统的数论。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论（整系数多项式的根－“代数数”）、几何数论（研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”――“空间格网”）。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。

５.抽象代数

抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。同时这种理论对物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都产生了巨大影响。

1８43 年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数――四元数。第二年Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数――矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定，就能研究出许多种代数体系。

1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义：狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体：1893年，韦伯定义了抽象的体：1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论：狄德金和克隆尼克创立了环论：1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。

有一位杰出数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特，1882 年3月２３日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。

诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题，对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群（李群）下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。

1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”。　1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数的方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

1927-1935年，诺特研究非变换代数与《非变换算术》。她把表示理论、理想理论及模理论在所谓“超复系”即代数的基础上，后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

诺特的思想通过她的学生范`德`瓦尔登的名著《近世代数学》得到广泛的传播。她的主要论文收在《诺特全集》（1982）中。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伯克建立了同调代数理论。

到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

现在，我们可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等数学中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量（或n元有序数组）、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。

三、线性代数主要概念的形成

线性代数是高等代数的重要组成部分。我们知道，研究关联着多个因素的量所引起的问题，需要使用多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么就称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是解线性方程组，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。在线性代数中，出现了许多重要概念