一、朴素集合论论与公理集合论

1.有两种集合论:朴素集合论与公理集合论。

2.在离散数学中大都采用朴素集合论。本教材也采用朴素集合论。

3.朴素集合论与公理集合论的由来:

集合论理论应该是严密的与正确的，不幸的是，罗素(Russell)于1901年发现了集合论中的一个矛盾现象，称罗素悖论。这个悖论是这样的:无法构建包含集合自身作为其元素的集合。这与集合论中的抽象性( )相矛盾。罗素悖论表示了集合论存在不足须作弥补以使其保持理论上的严密性，由此出现了公理集合论。公理集合论用公理方法研究集合论理论。而之前的集合论理论则称为朴素集合论。

4.公理集合论研究属数学中基础性研究，它的研究不影响朴素集合论的使用。仅须作一些限制，这个限制即是:设A为集合，而集合也可为元素，因此A也可是元素。所设的限制是:集合A不能包含自己作为其元素。即

A≠A

5.在本教材中使用朴素集合论并接受上面的限制。

6.一点说明:公理集合论的讨论中须使用数理逻辑作为工具，因此就出现了第二种排序:数理逻辑→集合论(包括关系)→代数系统- .图论顺序的依据，但这是一种误解，在普遍采用朴素集合论作为基础的离散数学中並不需要使用数理逻辑作为工具。

二、集合论三大基础性质

集合论中有三大基础性质，它们是: 

(1)集合的外延性质

两集合中各元素均相同，则它们相等。

(2)集合的抽象性质

任给一个性质都有一个满足该性质的元素所组成的集合。

(3)集合的选择性质

每个集合都有一个选择函数。

三、集合论中四大基本概念的解释与性质规范

1.在数学中有些基本概念是无法定义的，由于集合论是数学的基础，而集合的概念又是集合论的基础，因此有关集合中的一些概念一般是无法定义的，它们一共有四个:集合、元素、空集与全集。这些概念我们不作定义，仅作必要的解释并给出一些性质，使读者对它们有一个全面、完整的了解。

解释1.集合:--些具有共同目标的对象所汇集在一-起的集体称集合。集合一般可用大写字母S，A, B等表示。

解释2.元素:集合中具有共同日标的对象称元素。也可以说，集合是由元素所组成。元素-般可用小写字母: e, a, b, e,等表示。

解释3.空集:不含任何元素的集合称为空集，它可记为0。

解释4.全集:在所讨论或关注的范围内所有元素所组成的集合称为全集，它可记为E。

2.集合四个基本概念可以通过解释而获得了解，此外，它还可以

通过若干性质予以规范。下 面给出其主要性质。

(1)集合元素的确定性:对集合S与元素e，或e∈S， 或e∉S,两者必居其一。

(2)集合元素的相异性:集合中每个元素均是不相同的。如有S={a, b}，则a, b必不相同的。

(3)集合元素的不重复性:集合中不出现有相重复的元素，如

{a， b, b, c}与{a， b, c}是一样的。

(4)集合元素的无序性:集合中元素与其排列无关，如{a，b,c}与{b，a, c}及{c，a, b}等均是一样的。

上面四个关于集合中元素的特性，它们对规范集合有重要作用。

下面是几个关于元素与集合间关系的性质:

(5)集合与元素的相异性:在集合论中集合与元素是两个不同概念，集合是由元素组成，因此集合不等同于元素。

(6)集合与元素的嵌套性:一个集合在不同的环境下也可以是元素。这个性质反映了集合嵌套性。对这个性质须作一个限制，即集合A可以是另一个集合的元素，但不能是它自己的元素，即A∉A。

(7)集合的层次性:设有集合S，则{S}也是集合，但S≠{S},{S}是比S更高一层次的集合，同样，有{S}≠{{S}}， {{S}}是比{S} 更高一层次的集合，以此类推可以得到一个集合的多个层次的集合。

下面是介绍若干个空集与全集的性质:

(8)空集是一切集合的子集、即对任一集合S都有:   ∅⊆S

(9)所有集合都是全集的子集、即对任一集合S都有:  S⊆E

由此两个性质。我们可以得到，对任一集合S都有:  ∅⊆S⊆E

上面的9个性质规范了集合中4个基本概念的规范。