需要掌握： 
1.微分方程的解析解算法； 
2.应用数值求解函数求解微分方程； 
3.不同微分方程转换成一阶显式微分方程的方法； 
4.其他各类常微分方程的数值求解； 
5.常微分方程组边值问题的数值解法、一般偏微分方程的数值解法； 
6.Simulink仿真环境下，建立微分方程并求解。

本章内容主要包括： 
1.微分方程的解析解算法 
介绍在MATLAB环境中如何使用微分方程求解函数直接得出线性微分方程组的解析解，并对一阶简单的非线性微分方程的解析解求解进行探讨，从而得出结论，一般非线性微分方程是没有解析解的。 
2. 微分方程的数值解算法 
前面介绍了微分方程的解析解方法，同时也指出很多非线性微分方程是不存在解析解法的，需要使用数值解法对之进行研究。 
3. 不同微分方程转换成一阶显式微分方程组的一般性方法 
由前面介绍的微分方程求解函数和微分防方程标准型可见，如果常微分方程由一个或多个高阶常微分方程给出，要得出该方程的数值解，则应该先将该方程变成一阶常微分方程组。 
4.其他各类型常微分方程数值求解的方法 
包括刚性微分方程、微分代数方程组、隐式微分方程组、延迟微分方程组、切换微分方程以及随机微分方程的数值求解方法。 
5.边值问题的计算机求解方法。 
二阶微分方程边值问题的数学描述为 

假设想在区间[a,b]上研究该方程的解，且已知在这两个边界点上满足 

上面的方程称为边界条件。 
       显然，利用前面的边值问题算法是不能直接使用的，因为并不能直接获得在初始时刻的各个变量的值。讨论各种边界问题的数值解法。 
6.  一般偏微分方程的数值解法 
7.在Simulink环境下建立微分方程的数学模型并求解 
重点： 
1.微分方程的解析解算法； 
2.应用数值求解函数求解微分方程； 
3.不同微分方程转换成一阶显式微分方程的方法； 
4.其他各类常微分方程的数值求解； 
5.常微分方程组边值问题的数值解法、一般偏微分方程的数值解法； 
6.Simulink仿真环境下，建立微分方程并求解。 
难点： 
1、边值问题的计算机求解方法 
2、使用Simulink求解微分方程。

1.常系数线性微分方程的解析解方法

1.1线性常系数微分方程解析解的数学描述

1.2微分方程的解析解方法

MATLAB语言的符号运算工具箱提供了一个线性常系数微分方程求解的实用函数dsolve()，该函数允许用字符串的形式描述微分方程及初值、边界条件，最终将得出微分方程的解析解。调用格式为： 
y=dsolve(f1,f2,…,fm)
y=dsolve(f1,f2,….fm,’x’) %指明自变量

1.3Laplace变换在线性微分方程求解中的应用

假设输入信号u(t)和输出信号y(t)及其各阶导数在t=0时的值均为0，则对方程两端均进行Laplace变换，记Y(s)= L[y(t)], U(s)=L[u(t)] ，则Y(s)/U(s)可以表示成一个有理函数，在自动控制领域称为系统的传递函数

1.4线性转台空间方程的解析解

假设线性状态空间模型一般表示为： 

其中A,B,C,D为常数矩阵，且已知状态向量初值x0.该方程的解析解可以写成： 

对给定的输入信号u(t)来说，通过矩阵积分运算可以直接得出该方程的解析解。

1.5特殊非线性微分方程的解析解

部分非线性微分方程也可以用dsolve()函数求解析解

2.微分方程问题的数值解法

2.1微分方程问题算法概述

2.21微分方程求解的误差与步长问题

2.2四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现

四阶定步长的Runge-Kutta算法是传统数值分析课程和系统仿真课程中最常介绍的算法，被认为是求解微分方程最有效的一种方法。

      该算法看似简单，然而从求解数值问题的效果看，该算法不是一个较好的方法。

2.3一阶微分方程组的数值解

2.31四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法

2.32基于MATLAB的微分方程求解函数

MATLAB下求解微分方程组初值问题数值解最常用的是ode45()函数： 
[t,x] = ode45(Fun, [t0,tf], x0)  %直接求解
[t,x] = ode45(Fun, [t0,tf], x0, option)  %带有控制选项
[t,x] = ode45(Fun, [t0,tf], x0, option, p1, p2, …)  %带有附加参数
2.3.3 MATLAB下带有附加参数的微分方程求解 
       在基于MATLAB语言的微分方程求解中，引入附加参数的目的是，若微分方程的某些参数可以选择不同的值，对不同值得求解时考虑附加参数可以避免每次修改模型文件。

2.4微分方程数值解的验证

3.微分方程转换

3.1单个高阶常微分方程处理方法

假设一个高阶常微分方程的一般形式为 

且已知输出变量y(t)的各阶倒数初值为，则可以选择一组状态变量 ，这样，就可以将原高阶常微分方程模型变换成下面的一阶方程组形式 

且初值均为0，这样可求取原方程的数值解。

3.2高阶常微分方程组的变换方法

以两个高阶微分方程为例将两个高阶微分方程构成的微分方程组变换成一个一阶显式常微分方程组。依旧可以将原方程变换成一阶微分方程组。

3.3矩阵微分方程的变换与求解方法

在实际应用中，经常遇到矩阵形式的微分方程模型，如在机器人等学科中的Lagrange方程，对微分方程为下面的矩阵微分方程 

可以写成系统的状态方程模型： 

       可通过MATLAB提供的函数直接求解。

4.特殊微分方程的数值解

4.1刚性微分方程的求解

刚性方程一般不适合由ode45()这类函数求解，而应该采用MATLAB求解函数ode15s()，该函数调用格式和ode45()完全一致

4.2隐式微分方程求解

所谓隐式微分方程就是那些不能转换成一阶显式常微分方程组的微分方程。MATLAB语言早期版本中未能提供直接求解隐式微分方程的算法及函数，所以仍可以借用显式微分方程求解的函数来求解这类问题。

4.3微分代数方程的求解

4.4延迟微分方程的求解

MATLAB提供了求解这类方程的隐式Runge-Kutta算法dde23()，可以直接求解延迟微分方程。该函数调用格式： 

4.5切换微分方程的求解

4.6随机线性微分方程的求解

5. 边值问题的计算机求解 
5.1 线性方程边值问题的打靶算法 
5.2 非线性方程边值问题的打靶算法 
5.3 一般边值微分方程的求解方法 
6. 偏微分方程求解入门 
6.1 偏微分方程组求解 
       两种边值函数编写如下的MATLAB函数描述分别为： 


       还可以选择x和t的向量，再加上描述的这些函数，就可以用pdepe()函数求解次偏微分方程，这需要用下面的格式求解该偏微分方程。 

6.2 二阶偏微分方程的数学描述 
       除了前面介绍的一类偏微分方程外，MATLAB语言还有自己的偏微分方程工具箱，可以比较规范地求解各种常见的二阶偏微分方程。这里将MATLAB偏微分方程工具箱可解的二阶偏微分方程简单介绍一下，后面再介绍一个实用的偏微分方程求解界面pdetool，利用该程序界面可以容易地求解偏微分方程。 
6.2.1 椭圆型偏微分方程 
6.2.2 抛物线型偏微分方程 
6.2.3 双曲型偏微分方程 
6.2.4 特征值型偏微分方程 
6.3 偏微分方程的求解界面应用举例 
6.3.1 偏微分方程求解程序概述 
6.3.2 偏微分方程求解区域绘制 
6.3.3 偏微分边界条件描述 
6.3.4 偏微分方程求解举例 
6.3.5 时变解的动画显示 
6.3.6 函数参数的偏微分方程求解 
7. 偏微分的框图求解 
7.1 Simulink简介 
7.7.2 Simulink相关模块 
在MATLAB命令窗口下给出下面命令open_system(‘simulink’)将打开模块组窗口。 
7.7.3 微分方程的Simulink建模与求解 
建立起微分方程的Simulink模型，可以用sim()函数对其模型直接求解，得出微分方程的数值解。sim()函数的调用格式和ode45()等函数特别接近。

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