内积空间和希尔伯特 (Hilbert) 空间

引论

1、    中,

(1)、 向量有长度   ,

(2)、 两向量之间有夹角   .

2、 第 7 章, 我们已经把    中向量的长度    赋范线性空间中向量的范数.

3、 本章, 我们把    中两向量的内积    内积空间中两向量的内积.

内积空间的基本概念

内积空间的定义

1、 内积 (inner product) 空间: 设    是域    (  或   ) 上的线性空间, 若存在  

满足

(1)、 正定性   ;   ;

(2)、 关于第一个变元线性   ;

(3)、 共轭对称性   ,   ,

则称    为    与    的内积;    称为内积空间, 记作   .

2、 注意. 内积空间中, 内积关于第二个变元共轭线性  

泛函分析证明071 |

资料/微信群/    

内积空间与赋范线性空间的联系

1、 内积空间一定是赋范线性空间. 设    是内积空间, 定义  

后,    成为赋范线性空间.

(1)、   ;   ;

(2)、   ;

(3)、   .

泛函分析证明073 |

资料/微信群/

(1)、 先证 Schwarz 不等式  

且等号成立    线性无关.

(1-1)、 若   , 则结论自明.

(1-2)、 若   , 则对   ,  

取    得  

(1-3)、 若    线性相关, 则等号自然成立. 若等号成立, 则  

(2)、 后证三角不等式   :  

(3)、 我们还有平行四边形公式 平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和  

事实上,  

2、 Hilbert 空间: 完备的内积空间称为 Hilbert 空间.  

3、 内积是    上的连续函数. 泛函分析证明072 |

资料/微信群/

(1)、 回忆 连续映射的定义 | 定要是   . 这里,  

 是度量空间:  

(2)、 再回忆连续映射的序列刻画 (归结原理):

泛函分析I证明012 |

(3)、 对于  

我们就是要证  

设    (而有界, 设   ),   , 则  

4、 赋范线性空间    当且仅当满足平行四边形公式  

才可通过极化恒等式  

定义内积, 而成为内积空间. (参见书第 180 页题 5.)

内积空间的例子

1、    是 Hilbert 空间. 泛函分析证明074 |

资料/微信群/   设    是    中的可测集, 定义  

后,    成为内积空间, 其范数为  

由7.8.2Banach 空间的例子 | 知    是 Hilbert 空间. 这里, Schwarz 不等式表现为  

2、    是 Hilbert 空间. 泛函分析证明075 |

资料/微信群/   定义  

后    成为内积空间, 其范数为  

由7.8.2Banach 空间的例子 | 知    是 Hilbert 空间. 这里, Schwarz 不等式表现为  

3、    阶实方阵全体上引入内积成为 Hilbert 空间. 泛函分析证明075h1 |

资料/微信群/   设    是所有    阶实方阵按矩阵加法与    的数量乘法构成的线性空间, 定义  

则由  

知正定性成立, 再由矩阵迹的性质知    关于第一个变元线性, 也是共轭对称的. 故    是一个内积空间. 再由 7.8.3有限维赋范线性空间 | 知其为 Hilbert 空间. 这里, Schwarz 不等式表现为  

4、 给定一个正定矩阵, 在    中引入新的内积成为 Hilbert 空间. 泛函分析证明075h2 |

资料/微信群/   设    是正定矩阵, 在    中引入内积  

后成为 Hilbert 空间. 这里, Schwarz 不等式表现为  

令   , 我们又得到  

5、 当    时,    不是内积空间. 泛函分析证明076 |

资料/微信群/   令   , 我们有  

故平行四边形公式  

不成立    不是内积空间.

6、    按范数    不是内积空间. 泛函分析证明077 |

资料/微信群/   令   , 则  

而平行四边形公式  

不成立    不是内积空间.

9.1-1简述内积空间与赋范线性空间的关系

简述内积空间与赋范线性空间的关系.

9.1-2内积空间的定义及平行四边形公式

写出内积空间的定义; 并证明: 若    是内积空间, 则有平行四边形公式  

其中   .

9.1-3内积关于第二个变量是共轭线性的

写出内积空间的定义; 并证明: 若    是内积空间, 则  

9.1-4内积空间中依范数收敛且弱收敛蕴含强收敛

设    是内积空间    中点列, 若   , 且对一切    有   . 证明:   .