柯西 (Cauchy) 点列和完备度量空间

Cauchy 点列

1、 Cauchy 点列 设    是度量空间,   , 若

则称    是    中的Cauchy 列.

2、 收敛点列是 Cauchy 列:

泛函分析I证明015 |

资料/微信群/   由    知

于是当    时,

3、 Cauchy 列是有界列. 泛函分析I证明016 |

资料/微信群/   设    是 Cauchy 列, 则对   ,

特别有   . 于是   ,  

4、 Cauchy 列如果有一个收敛子列, 则收敛. 泛函分析I证明017 |

资料/微信群/   设    是 Cauchy 列, 则

又设    有一个收敛子列   , 其极限为   , 则  

于是当    时,  

5、 总结.  

完备度量空间

1、 完备度量空间 (complete metric space): 设    是度量空间, 若

(也即每个 Cauchy 列都收敛, 且极限在    中) 则称    是完备度量空间.

2、 完备度量空间的子空间: 设    是完备度量空间,   , 则

泛函分析I证明018 |

资料/微信群/

(1)、   :  

(2)、   :  

完备度量空间的例子

1、    是完备度量空间. 泛函分析I证明019 |

资料/微信群/   数学分析的内容啦. Cauchy 收敛准则-实数系六大基本定理之一. 这六大基本定理是:

(1)、 确界原理.

(2)、 单调有界定理.

(3)、 Cauchy 收敛准则.

(4)、 Weierstrass 聚点定理.

(5)、 闭区间套定理.

(6)、 Heine-Borel 有限覆盖定理.

它们是等价的. 你能证明么? 有    个证明.

2、 有界序列空间    是完备度量空间. 泛函分析I证明020 |

资料/微信群/   设    是 Cauchy 列, 则

这表明    是    中 Cauchy 列, 而

令   , 则在 (7.4:l infty:Cauchy) 中令    得  

3、 收敛序列空间    是完备度量空间. 泛函分析I证明021 |

资料/微信群/

(1)、 由收敛点列一定有界知   . 为证    是完备度量空间, 由泛函分析I证明018 | , 仅需验证    是    的闭子集.

(2)、 设   , 则 ** **,

特别取    有    进一步,  

这表明    是    中 Cauchy 列, 是收敛的, 而   .

4、    是完备度量空间. 泛函分析I证明022 |

资料/微信群/   设    是 Cauchy 列, 则  

这表明    是    中 Cauchy 列, 而收敛于某   . 于 (7.4:C a b:Cauchy) 中令    得

这表明  

不是完备度量空间的例子

1、 如何证明一个度量空间    不完备?

(1)、 法一: 存在    中的一个  Cauchy 点列   , 不收敛, 或者收敛但不收敛于    中的点.

(2)、 法二: 假设    是完备度量空间    的子空间, 也即   , 则  

2、    不是完备度量空间. 泛函分析I证明023 |

资料/微信群/

(1)、 法一:  

(2)、 法二:    不是    的闭子集    不是完备度量空间.

3、    不是完备度量空间. 泛函分析I证明024 |

资料/微信群/

(1)、 设    是闭区间    上的实系数多项式全体, 作为    的子空间不是完备度量空间. 怎么证? 由 泛函分析I证明018 | 只需验证    不是闭的,也即  

(2)、 记   , 则由  

知  

(试用代数学基本定理说明    不是多项式:  

而    在    中没有根; 如果是多项式, 则有有限多个根啊). 这表明    不是    的闭子空间, 而不是完备度量空间.

4、 设  

则    不是完备度量空间. 泛函分析I证明025 |

资料/微信群/   设  

则由  

知    是    中 Cauchy 列. 往用反证法证明    不收敛于    中任一点. 若   , 则  

于是

(1)、  

(2)、  

5、 注意. 你看:

(1)、    赋以度量  

后,    是完备度量空间.

(2)、    赋以度量  

后,    不是完备度量空间.

所以, 讨论完备性一定要看清楚所考虑的度量哦.

7.4-1度量空间中闭集与完备集的关系

在度量空间中, 简述闭集与完备集 (Cauchy 列一定收敛的集) 的关系.

7.4-2完备度量空间中完备子空间的刻画

设    是完备度量空间,   , 试证:

7.4-3度量空间中Cauchy列的等价刻画

设    是度量空间, 试证: Cauchy 列收敛, 当且仅当其中存在一串收敛子列.