连续映射

连续映射的定义

1、 连续映射的    定义: 设    是度量空间,   . 若  

则称     在    处连续.  注. 还记得嘛. 1.1集合的表示 | 讲过: 若   , 则对   , 我们有  

2、 若    在    处连续, 则称    在    上连续.

连续映射的三个等价刻画

1、 连续映射的序列刻画 (归结原理):

泛函分析I证明012 |

资料/微信群/

(1)、   : 由    在    处连续知

又由    知对上述   ,  

(2)、   : 用反证法. 若    在    处不连续, 则

取   , 而  

于是    但    不成立. 与题设矛盾. 故有结论.

2、 连续映射的开集刻画 (开集的原像是开集):

泛函分析I证明013 |

资料/微信群/

(1)、   : 设    是    中开集, 则  

(2)、   :   ,  

3、 连续映射的闭集刻画 (闭集的原像是闭集):

泛函分析I证明014 |

资料/微信群/

(1)、   :  

可还记得原像保持集合的补运算 实变函数与泛函分析作业参考解答01-01-03 |

(2)、   :  

由连续映射的开集刻画即知    连续.