Lebesgue 积分的几何意义, Fubini 定理

直积与截面

1、 从低维到高维 对   ,  

称为    与    的直积 (direct product).

2、 从高维到低维 设   ,   , 则称  

为    关于    的截面 (section).

3、 直积与截面的性质 说白了, 就是直积/截面保持包含, 无交, 并, 交, 差等运算  

4、 直积保持开、闭:  

实变函数证明177 |

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(1)、  

(2)、 由  

知  

降维法求测度: Fubini 定理的前奏

1、 截面定理 设    可测, 则

(1)、 对   ,    可测;

(2)、    是    上    有定义的可测函数;

(3)、   .

实变函数证明178 |

资料/微信群/   我们一步步简化.

(1)、 由于   , 我们仅须考虑有界可测集.

(2)、 由可测集的构造:

及极限与测度的可交换性 (注意   ), 我们仅须考虑开集、零测度集.

(3)、 再由开集的构造, 我们仅须考虑 (左开右闭) 区间和零测度集.

(4)、 对区间   ,  

(5)、 对零测度集   ,  

2、 直积的测度:  

实变函数证明179 |

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(1)、 等会再证    可测, 我们先证那个等式:  

(2)、 往证    可测. 不妨设    有界 (否则用极限与测度的可交换性). 此时,    可通过开、闭集来上、下逼近:

于是  

且  

因此,    可测.

非负可测函数积分的几何意义

1、 设    为可测集    上的非负函数. 则

(1)、    在    上可测      的下方图形

在    中可测;

(2)、    在    上可测   .

实变函数证明180 |

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(1)、 必要性:

(1-1)、    时,  

(1-2)、    时,  

(1-3)、    非负可测时,   , 而  

(2)、 充分性及等式: 若    可测, 则

是    中    有定义的可测函数, 且

2、 推广:

3、    Lebesgue 可积的一个充要条件 上、下方图形的面积均有限:

Fubini 定理与累次积分

1、 Fubini 定理:

(1)、 设    在可测集    上非负可测, 则对   ,    作为    的函数在    上非负可测, 且

(2)、 设    在可测集    上可积, 则对   ,    作为    的函数在    上可积,    作为    的函数在    上可积, 且

实变函数证明181 |

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(1)、 非负可测情形:  

(2)、 一般可积情形:  

2、  

3、 Fubini 定理的应用    上的函数   , 由  

知   . 实变函数证明182 |

资料/微信群/   令   , 则有  

本章小结

1、 非负简单函数的 Lebesgue 积分 (底乘以高).

2、 非负可测函数的 Lebesgue 积分 (最重要的定理: Levi 引理, 逐项积分, Fatou 引理).

3、 一般可测函数的 Lebesgue 积分 (最重要的定理: Lebesgue 控制收敛定理, Lebesgue 积分的绝对连续性, 逐项积分).

4、 Rieman 积分与 Lebesgue 积分的关系.

5、 Fubini 定理 (非负可测时, 一般可测时).