Riemann 积分和 Lebesgue 积分

回忆 Riemann 积分

1、 记号: 一元函数    在    上的

(1)、 Riemann 积分:   ;

(2)、 Lebesgue 积分:   .

2、 Riemann 积分: 对函数    及    的任一分划

定义 Darboux 上、下和:  

而显然有  

再定义 Darboux 上、下积分:

而显然有    最后定义  

注意:

可数, 而是零测度集.

连续函数的振幅刻画

1、 连续函数的振幅刻画

实变函数证明172 |

资料/微信群/    

Riemann 可积函数的刻画

1、 Riemann 可积函数的刻画 设    有界, 则  

实变函数证明173 |

资料/微信群/   注意到  

及  

我们有  

2、 为证   , 仅须注意到    及  

最后一步你学过的. 参见 华东师大数学分析第五版1.5.16 |

3、 本定理也有纯数学分析的证明, 参考常庚哲, 史济怀 编著 数学分析教程 上册第三版第 6.6 节. 那里讲得也蛮详细的哦.

Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广

1、 设    注意:    有界, 则  

实变函数证明174 |

资料/微信群/

(1)、  

(2)、  

Lebesgue 积分是非负 Riemann 反常积分的推广

1、

实变函数证明175 |

资料/微信群/    

Lebesgue 积分不是 Riemann 反常积分的推广

1、

实变函数证明176 |

资料/微信群/   由 Dirichlet 判别法即知   . 往证

事实上,  

5.5-1R可积的充要条件

(南京师大复试) 叙述    在    上 Riemann 可积的充要条件.

5.5-2R可积的充要条件

(南京师大复试) 证明: 若对任意满足    的   ,    在    上 Riemann 可积, 且    在    上有界, 则    在    上 Riemann 可积.

5.5-3利用R积分计算L积分

(南京师大复试) 令    利用定义求   .

5.5-4L可积是指绝对可积

设    在    上    反常积分存在 (可积). 证明:    在    上    可积的充要条件为    在    上    反常积分存在 (可积). 并证明此时成立