一般可测函数的 Lebesgue 积分

一般可测函数 Lebesgue 积分的定义

本节中, 设    是可测集    上的可测函数;    可测;   .

1、 **  在    上积分确定**  

此时称

为    在    上的 Lebesgue 积分.

2、 **  在    上 Lebesgue 可积**  

3、    上 Lebesgue 可积的函数全体记作   .

一般可测函数 Lebesgue 积分的基本性质

1、 底面积为零蕴含体积为零   ,   , 且   .

2、 Lebesgue 可积蕴含被积函数几乎处处有限    有限, 于   . 实变函数证明156 |

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最后一步的理由为:  

3、    在    上积分确定    在    上积分确定. 实变函数证明157 |

资料/微信群/   不妨设   , 则

4、  

实变函数证明158 |

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5、 关于积分区域的可数可加性  

实变函数证明159 |

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6、  

实变函数证明160 |

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7、  

实变函数证明161 |

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8、 积分估值  

9、  

10、  

实变函数证明162 |

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(1)、 当    时, OK.

(2)、 当    时,  

(3)、 当    时,  

11、  

实变函数证明163 |

资料/微信群/   由    知   . 进一步,  

12、  

一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1:函数可积等价于其绝对值可积

1、 我们学过的函数性质, 函数及其绝对值的表现完全不同.

(1)、 证明: 若    在    处连续, 则    在    处连续. 举例说明反之不成立. 参考解答 |

(2)、 举例说明:    在    处可导, 但    在    处不可导. 反之也不对. 证明: 如果    在    处连续,    在    处可导, 则    在    处可导. 参考解答 |

(3)、 证明: 若    在    上黎曼可积, 则    在    上黎曼可积. 举例说明反之不成立. 参考解答 |

(4)、 证明: 若    在    上的无穷限积分存在, 则    在    上的无穷限积分存在. 举例说明反之不成立. 参考解答 |

(5)、 证明: 若    在可测集    上是可测函数, 则    也是    上的可测函数. 但反之不成立. 参考解答 |

2、 但是对于 Lebesgue 可积这个性质, 能完全颠覆我们的想象. 也许你一辈子只能见到的唯一性质.

3、   , 且有  

实变函数证明164 |

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:

进一步,  

一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质2:绝对连续性

1、 绝对连续? 没听过. 确实. 第 6 章我们还会再看.

(1)、 相信大家都知道连续,    上的连续函数全体记作   . 那 Lipschitz 连续呢? 哦, 对, ODE 讲过. 函数    称为 Lipschitz 连续, 如果  

 上的全体 Lipschitz 函数记作   .

(2)、 我们有如下的包含关系:  

这里,    表示    上的连续可微函数全体.

(3)、 现在, 我们要讲的绝对连续呢? 就介于 Lip 与 C 之间.

2、 积分的绝对连续性 (absolute continuity): 积分值是被积可测集测度的连续函数:

实变函数证明165 |

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(1)、 先对简单函数   , 其中    是互不相交的可测集证明结论. 好办! 设   , 则  

(2)、 现在考虑一般的可测函数   . 对   , 先选简单函数    使得  

[为啥?   , 非负可测函数 Lebesgue 积分的定义呗.] 对这个   , 由第 1 步,   , 使得  

如此一来, 只要   , 就有  

一般可测函数 Lebesgue 积分的重要性质3:Lebesgue控制收敛及其推论

1、 Lebesgue 控制收敛定理