积分论

Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介

Riemann 积分的局限性

1、 Riemann 积分与极限的条件太严:

这 一致收敛 极大地限制了 Riemann 积分的应用.

2、 积分运算不完全是微分运算的逆运算:

但微分后再积分不一定能还原. 比如 Volterra 于 1881 年构造了一可微函数   , 其导函数    有界但不 Riemann 可积, 而  

不成立.

Lebesgue 积分简介

1、 鉴于 Riemann 积分的以上缺陷, Lebesgue 于 1902 年引入了 Lebesgue 积分, 很大程度上摆脱了以上 Riemann 积分的困境.

2、 Lebesgue 积分的的步骤

(1)、 Riemann 积分主要为: 竖分割, 求和, 取极限:

(2)、 Lebesgue 积分主要为: 横分割, 求和, 取极限:

3、 Lebesgue 积分的基本思路

(1)、 易知  

我们考虑的可测函数   , 其正面积可能为   , 负面积可能为   , 而可能出现    的不定情形. 所以我们先考虑非负函数的积分.

(2)、 对非负函数的积分, 有一个特别简单的情形, 那就是简单函数的积分.

(3)、 所以本章的结构如下: