依测度收敛 (convergence in measure)

依测度收敛的定义

1、 以前学过

本节将用测度引进另外一种收敛概念---依测度收敛:  

2、 依测度收敛:  

依测度收敛不能蕴含几乎处处收敛

1、 依测度收敛但不收敛的例子

实变函数证明127 |

资料/微信群/

(1)、 对   ,  

这表明所论可测函数列在    上依测度收敛于   .

(2)、 又对   ,  

因此, 在    处, 所论函数列

(2-1)、 有一个子列    恒为   ;

(2-2)、 也有一个子列    恒为    (取    即可).

这表明所论可测函数列在    处不收敛.

几乎处处收敛不能蕴含依测度收敛

1、    收敛但不依测度收敛的例子.

实变函数证明128 |

资料/微信群/

(1)、 对   ,  

因此,   .

(2)、 又对   ,  

而    不依测度收敛于   .

Riesz 定理 (依测度收敛函数列有一个子列几乎处处收敛)

1、 Riesz 定理 依测度收敛函数列有一个子列几乎处处收敛.  

实变函数证明129 |

资料/微信群/    

事实上,  

Lebesgue 定理 (测度有限时, 几乎处处收敛蕴含依测度收敛)

1、 Lebesgue 设   ,

则   . 实变函数证明130 |

资料/微信群/    

2、 反例. Lebesgue 定理中    是必须的. 否则有反例 没错. 就是刚刚学的那个几乎处处收敛不能蕴含依测度收敛的例子:

实变函数证明131 |

资料/微信群/

(1)、 对   ,  

因此,   .

(2)、 又对   ,  

而    不依测度收敛于   .

依测度收敛的极限的唯一性 (在几乎处处意义下)

1、 依测度收敛的极限的唯一性 (在    意义下).  

实变函数证明132 |

资料/微信群/   即要证  

而可用套路减一项, 加一项  

蕴含  

各种收敛态的关系总结

Riesz 定理的强化版本

1、 Riesz 定理的强化版本 直接建立依测度收敛与一致收敛的关系. 设    是可测集,    均是    上的    有限的可测函数. 若  

则    基本上一致收敛于   . 实变函数证明133 |

资料/微信群/

(1)、 该结论比  Riesz 定理强. 为啥? 条件相同, 结论更好!  

(2)、 若   , 则是容易的.  

(3)、 若   , 则  

对   , 取   , 使得   , 并令  

则  

且  

4.4-1可测函数列几乎处处收敛未必依测度收敛

(南京师大复试) 叙述可测函数列    依测度收敛于函数    的定义, 并举例说明    收敛的函数列未必是依测度收敛的函数列.

4.4-2基本上一致收敛与几乎处处收敛的关系

叙述可测函数列      收敛于函数    的定义, 并说明’基本上‘一致收敛与    收敛的关系.

4.4-3依测度收敛与几乎处处收敛的关系

叙述可测函数列    依测度收敛于函数    的定义, 并说明依测度收敛与    收敛的关系.

4.4-4递增可测函数列的依测度收敛蕴含几乎处处收敛

(西南大学复试) 设在    上,   , 且    几乎处处成立,   , 则几乎处处有    收敛于   .

4.4-5依测度收敛的线性组合

(南京师大复试) 设在    上   ,   , 则对任意实数   , 有   .

4.4-6测度有限时, 几乎处处收敛的一个等价刻画

设    是    上有限可测函数且   , 求证:    在    上几乎处处成立的充要条件是在    上,   , 其中   .

本章小结

1、 可测函数的等价定义, 四则运算, 上极限/下极限/极限运算.

2、 重要的可测函数类

(1)、 连续函数类, 及其与可测函数的关系: Lusin 定理.

(2)、 重要的可测函数类: 简单函数类. 其与可测函数的关系: 非负可测时, 递增逼近; 有界可测时, 一致逼近; 一般可测时, 点点逼近.

3、 可测函数列各种收敛及其关系: 一致收敛, 几乎处处收敛, 依测度收敛.