可测函数的构造

Lusin 定理

1、 Lusin 定理 设

则 **  基本上连续**:  

实变函数证明125 |

资料/微信群/

(1)、 情形一:    是简单函数, 而

则由可测集的构造知

令  

则由  

知  

而    在    上连续. 进一步,  

(2)、 情形二:    有界可测. 此时,  

对   , 对每一   , 由情形一,

取  

则    为闭集;    作为一致收敛的连续函数列    的极限函数, 在    上连续 (数学分析啦); 且  

(3)、 情形三:    一般可测. 这时, 用    代替    后可设    是有限函数. 考虑有界函数

由情形二,  

而由  

知    在    上连续.

2、 Lusin 定理的意义:  

Lusin 定理的另一形式

1、 Lusin 定理的另一形式: 设    是    上    有限的可测函数, 则 (注意几何意义)

实变函数证明126 |

资料/微信群/   由 Lusin 定理,   , 使得    在    上连续.  因为    是闭集,    是开集,  

因为   , 而    在    有定义, 可通过直线段连接    与   .  这样就把    上的连续函数延拓到    上的连续函数. 详细证明见书啦. 多去看看嘛.

可测集与可测函数的总结

温故而知新, 可以为师矣.  

4.3-1简要叙述可测函数与简单函数的定义与关系

简要叙述可测函数与简单函数的定义与关系.

4.3-2简要叙述可测函数与连续函数的定义与关系

简要叙述可测函数与连续函数的定义与关系.

4.3-3简要叙述命题基本上成立与几乎处处成立的关系

设    是可测集,    是关于    的一个命题. 简要叙述      于    与    在    上基本上成立的定义与关系.