Egrov 定理

引言

1、 一致收敛很重要. 比如可以用于极限与积分交换次序等.

2、 可惜的是很多时候不一致收敛. 比如

因为极限函数不连续.

3、 但   ,    在    上一致收敛! 除掉一个长度可以任意小的集合    之外是一致收敛的.

4、 本节的内容就是把这种现象普适化.

Egrov 定理

1、 Egrov 定理 设

(1)、   ;

(2)、    有限的可测函数列      收敛于    有限的函数   .

则 **  在    上基本上一致收敛于   **:  

实变函数证明122 |

资料/微信群/

(1)、 先设  

此时,  

事实上,  

而  

(2)、 一般的, 作

则   . 则在    上,    满足 (1) 的条件, 而  

2、 Egrov 定理的意义: 在测度有限的可测集上,

3、 反例.    时, Egrov 定理不一定不成立. 比如  

实变函数证明123 |

资料/微信群/

(1)、    时, Egrov 定理不一定不成立. 就是要在    时, 构造    上的可测函数列   , 它在    上几乎处处收敛, 但不是基本上一致收敛:  

换句话说,  

(2)、 注意到数列极限不依赖于它的前有限项, 由  

知  

但  

4、 Egrov 定理的逆定理在    时成立. 做作业吧. 哈哈.

Egrov 定理的推广

1、 Egrov 定理的推广 设

(1)、   ;

(2)、    有限的可测函数列      发散于   .

则  

实变函数证明124 |

资料/微信群/

(1)、 先设    处处有限. 此时,  

取  

则   , 且  

(2)、 一般的, 设    有限. 此时, 令   , 则   ,    在    上处处有限. 据 (1),  

而  

4.2-1可测函数列基本上一致收敛蕴含几乎处处收敛

设函数列    在    上’ 基本上‘一致收敛于   , 证明:      收敛于   .