可测函数

引言

1、 Riemann 积分主要考虑连续函数:  

小作业: 参考裴礼文数学分析中的典型问题与方法, 证明连续函数的开集刻画.

2、 Lebesgue 想考虑更为广泛的函数 (使其可积分)：  

这就是本章要学习的 可测函数.

可测函数 (measurable function) 及其性质

记号 (notations)

1、 广义实数:  

小作业: 在广义实数集中, 确界原理的叙述怎样?

2、 本章主要考虑

其中    是可测集, 而把

称为 有限函数.

3、 有限函数、有界函数的区别.

(1)、 有限函数不一定有界, 比如  

(2)、 有界函数一定有限.

4、    是哑巴, 可以去掉, 也可以换成其它符号.

和定积分的积分变量类比.

可测函数的定义及等价刻画

1、  

2、 例.  

可测. 实变函数证明102 |

资料/微信群/    

3、 例.    上的单调函数可测. 实变函数证明103 |

资料/微信群/   不妨设    是单增函数, 则   ,  

这表明    是区间, 而是可测集.  数学分析中的    类区间可统一定义为:   . 如果学点集拓扑, 会有. 现在直观上多理解.

4、 可测函数的等价定义:  

实变函数证明104 |

资料/微信群/

(1)、  

(1-1)、   : 由  

知  

是可数个可测集的交, 是可测的.

(1-2)、   : 由  

知  

是可数个可测集的并, 是可测的.

(2)、  

(2-1)、   :   , 是可测集的补集, 是可测的.

(2-2)、   :   , 是可测集的补集, 是可测的.

(3)、  

(3-1)、   : 由  

知  

是可数个可测集的交, 是可测的.

(3-2)、   : 由  

知  

是可数个可测集的并, 是可测的.

(4)、  

(4-1)、   : 由  

知  

是两个可测集的差, 是可测的.

(4-2)、   : 设    是有限函数, 则由  

知  

是可数个可测集的并, 是可测的.

5、 函数可测的必要条件, 非充分哦. 如果    可测, 则  

实变函数证明105 |

资料/微信群/    

重要的可测函数类 I---连续函数类

1、 设   , 如果   , 且  

则称    在点    处连续.

2、    在    的孤立点上连续. 实变函数证明106 |

资料/微信群/   设    是    的孤立点, 则  

于是    

3、 可测集上的连续函数必可测 设    连续, 则    可测. 实变函数证明107 |

资料/微信群/   由函数极限的保号性知  

而  

于是  

可测.

重要的可测函数类 II---简单函数类

1、 可测函数在可测子集上还可测. 设    在    上可测,    可测, 则    在    上的限制    也可测. 实变函数证明108 |

资料/微信群/   由  

知  

是两个可测集的交, 是可测的.

2、 至多可数个可测集上的可测函数可测.    在  上可测    在    上可测. 实变函数证明109 |

资料/微信群/   由  

知  

是至多个可数个可测集的并, 是可测的.

3、 定义. 设    两两不交, 可测,

使得

则称    为 简单函数 simple function, 记作

这里及以后用  

表示集合    的特征函数 (characteristic function).

4、 例.  

是    上的简单函数.

5、 简单函数可测. 实变函数证明110 |

资料/微信群/    

在每个    是常值函数, 是连续函数, 而是可测函数.

可测函数的四则运算

1、 只要有意义,  

实变函数证明111 |

资料/微信群/

(1)、 由  

知仅需证明  

(2)、    可测:  

(3)、    可测: 由  

知  

(4)、    可测:  

(5)、    可测:  

(6)、 顺带的, 我们证明:    可测:  

2、