可测集 (measurable set)

可测集的等价定义

1、    中集合    称为可测的 (measurable), 如果

**  可测当且仅当上述试验对所有    的子集都成立. 这里只涉及到外测度, 而不用引入内测度了.**

(1)、 所有可测集构成的集族记为   .

(2)、 这里的    称为试验集 (test set).

(3)、 (3.2:Caratheodory) 称为 Caratheodory 条件.

(4)、 当    时, 记    为    的测度:   .

2、 可不可测, 只需对所有区间做试验即可.  

实变函数证明084 |

资料/微信群/

(1)、   : 显然.

(2)、   : 由外测度的次可数可加性知    成立, 往证   :  

3、 可不可测只需看它是否在外测度意义下分离集合.

实变函数证明085 |

资料/微信群/

(1)、   : 取试验集    即可.

(2)、   :   ,  

可测集的性质1: 可测集的补, 可测集列的交与并

1、 可测集类对补运算封闭.  

实变函数证明086 |

资料/微信群/     ,  

2、 可测集类对交/并运算封闭.  

实变函数证明087 |

资料/微信群/

(1)、 证明    可测:  

(2)、 证明    可测:  

3、 可测集类对有限交/有限并运算封闭.  

实变函数证明088 |

资料/微信群/    有了 2 就可以通过数学归纳法到有限. 哈哈. 小技巧而已.

4、 可测集类对可数并运算封闭, 且有 可数可加性 countable additivity.  

且

实变函数证明089 |

资料/微信群/   由 常用技巧: 把并写成不交并  

知仅须验证当    两两不交时,    可测, 且 可数可加性 成立:  

这就证明了    可测. 进一步, 取   , 则上式第一行变成  

结合外测度的次可数可加性:  

我们得到可数可加性:  

5、 可测集类对可数交运算封闭.  

实变函数证明090 |

资料/微信群/    

可测集的性质2: 可测集列的极限

1、 测度与递增极限运算可交换.  

实变函数证明091 |

资料/微信群/    

2、 在测度有限时, 测度与递减极限运算可交换.  

实变函数证明092 |

资料/微信群/   考虑    为全集,  

这里, 我们利用了以下结论 两边减东东时一定要确保其为有限数:  

3、 反例. 在测度无限时, 测度与递减极限运算不一定可交换哦. 实变函数证明093 |

资料/微信群/      不可缺少! 否则错误. 比如  

3.2-1一个集合可测, 另一个集合外测度有限, 则并的外测度与交的外测度之和等于两个集合的外测度之和

设    且   , 若    可测, 试证:   .

3.2-2两个可测集的并的测度与交的测度之和

(南京师大复试) 设    可测, 试证:  

3.2-3满测度集合的一个重要性质

设    是    中可测集, 若   . 证明, 对任意可测集   ,   .

3.2-4满测度集列的交还是满测度

设    是    中可测集列, 若   ,   , 则   .

3.2-5可测集列的上极限为零测集的一个充分条件

若    是一可测集列, 满足   , 试证:   .

3.2-6可测集列的上下极限的测度

设    是一列可测集, 证明:    和    都是可测集, 且

(1)、   ;

(2)、 若   , 则   .