测度论

引言

1、 我们的经验是长度公理: 对直线上的一些点集构成的集族, 指定其上的一个函数   , 使得

(1)、 非负性 (non-negativity):   ;

(2)、 有限可加性 (finitely additivity): 若    互不相交, 则

(3)、 正则性 (unity):   .

2、 Lebesgue (为了使更多的集合可求长度, 而使得更多的函数可积分) 将其推广为

(1)、 非负性 (non-negativity):   ;

(2)、 可数可加性 (countably additivity): 若    互不相交, 则

(3)、 正则性 (unity):   .

这就是我们本章要学习的 测度.

外测度 (outer measure)

1、 原始的想法: 用规则的可求测度的集合 (比如区间) 去逼近任一集合   . 若 ** 外包** 的下确界    内测度 内填 的上确界, 则    是可测的.

2、 但是这样就涉及到两个概念: 外测度, 内测度. 现代书一般就给出外测度, 然后加上一个条件 (Caratheodory 条件), 使得其与 外测度    内测度 等价. 这样就不用引进内测度了.

3、 对   ,  定义    的外测度

是用可数个开区间去盖   .

4、 外测度的性质:

(1)、   ,   .

(2)、 单调性 (monotonicity)   . 实变函数证明082 |

资料/微信群/    

取下确界即得   .

(3)、 次可数可加性 (sub countably additivity):

实变函数证明083 |

资料/微信群/   要证明   , 一个常用的方法是证明  

(3-1)、 若某个   , 则结论自然成立.

(3-2)、 不然,   , 对    由外测度的定义,  

5、 例. 对任何区间   , 有   . 实变函数证明194 |

资料/微信群/   区间是规则的嘞.

6、 例.    中的单点集    满足   . 实变函数证明195 |

资料/微信群/    

7、 例.   . 实变函数证明196 |

资料/微信群/    

3.1-1有界集是否一定外测度有限

论断’若    是有界集, 则   ‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-2外测度有限是否蕴含集合有界

论断’若   , 则    是有界集‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-3外测度为零的无限集是否一定可数

(南京师大复试)  论断 ‘若    为无限集, 且   , 则    必为可数集‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-4开核非空的集合是否一定有正的外测度

(南京师大复试) 论断 ‘若    的开核不空, 则   ‘ 是否正确? 若正确, 给出理由; 若不正确给出反例.

3.1-5有理数集的外测度

写出    的外测度    的定义, 并求有理数集    的外测度   .

3.1-6Cantor集的外测度

写出    的外测度    的定义, 并求 Cantor 集    的外测度   .

3.1-7可数并的外测度为零等价于集列中的每个集合外测度为零

写出    的外测度    的定义, 并证明  

3.1-8正外测度集上关于外测度的介值定理

(南京师大复试) 设    为直线上的有界集,   , 则对于任意小于    的正数   , 总存在    的子集   , 使得   .