开集 (open set), 闭集 (closed set), 完备集 (complete set)

开集及其性质

1、 开区间    有啥性质?  

这可推广为

2、 定义.  

实变函数证明063 |

资料/微信群/   只需证明   :  

3、 **  的开核一定是是开集** 对   ,    是开集. 实变函数证明064 |

资料/微信群/   画图画图嘞.  

4、 开集的性质, 而可构造更多的开集 任意多个开集之并是开集, 有限多个开集之交是开集. 实变函数证明065 |

资料/微信群/

(1)、 证明任意多个开集之并是开集. 设    是开集族, 往证    是开集:  

(2)、 证明有限多个开集之交是开集. 设    是有限个开集, 往证    是开集:  

从这里你可以看出为啥要有限...

5、 反例. 任意多个开集的交不一定是开集.  

闭集及其性质

1、

(1)、 闭区间   ,

(2)、 单点集    是长度退化为    的闭区间.

它们有什么性质?  

这可推广为

2、  

由 (3), 我们说 啥是闭集, 就是在极限运算下封闭的集合. 实变函数证明066 |

资料/微信群/    

3、 对   ,    是开集,    是闭集. 实变函数证明067 |

资料/微信群/

(1)、 证明    是闭集:  

(2)、 证明      是闭集:  

4、 闭集与开集的关系:  

实变函数证明071 |

资料/微信群/    

5、 闭集的性质, 而可构造更多的闭集 任意多个闭集之交是闭集, 有限多个闭集之并是闭集. 实变函数证明068 |

资料/微信群/   设    是闭集族, 则  

设    是有限个闭集, 则  

6、 任意多个闭集的并不一定是闭集.  

7、 正规性: 拓扑的术语 设两闭集    不交, 则存在开集   , 使得   . 实变函数证明069 |

资料/微信群/   证明思路:  

取  

即可.

8、 思考. 不交闭集的距离一定大于零么? 实变函数证明070 |

资料/微信群/   不能! 比如    中的两个闭集:  

紧集、自密集、完备集

1、 定义.  

实变函数证明072 |

资料/微信群/

(1)、   : Heine-Borel 有限覆盖定理.  小作业: 用实数系的其它任一个完备性刻画证明 Heine-Borel 有限覆盖定理.

(2)、   : 先证    有界:  

再证    是闭集    是开集:  

2、 定义.  

实变函数证明073 |

资料/微信群/

(1)、 若   , 往用反证法证明    没有孤立点.  

(2)、 反之, 若    没有孤立点, 则  

3、  

4、 例.    是自密集, 也是完备集. 实变函数证明074 |

资料/微信群/     .

5、 例. 在    中,    是自密集,    和    是完备集. 实变函数证明075 |

资料/微信群/

(1)、   .

(2)、   .

6、 总结.  

2.3-1中既开又闭的集合要么是空集要么是Rn

(西南大学复试) 设    既是闭集, 也是开集, 则    或   .

2.3-2开集减闭集后的差集仍是开集, 闭集减开集后的差集是闭集

证明开集减闭集后的差集仍是开集, 闭集减开集后的差集是闭集.

2.3-3(1)开集的定义

请写出    为开集的定义;

2.3-3(2)单位开圆盘的开核

设   , 求   ;

2.3-3(3) 中每一个开集均可表示成可数个闭集的并集

证明:    中每一个开集均可表示成可数个闭集的并集.