Cantor 三分集 (Cantor third-middle set)

Cantor 三分集的构造

把    三等分, 挖去中间的那段, 记剩下的    个区间的并为  

若    已给出, 则对其    个闭区间三等分, 挖去中间的那段, 记剩下的    个区间的并为  

一直做下去, 得到一个递减闭集列   . 定义:

Cantor 三分集的性质

1、    是完备集. 实变函数证明078 |

资料/微信群/

(1)、 每个    是闭集. 因为任意多个闭集的交还是闭集, 而    是闭集.

(2)、    的余区间没有公共端点, 而    是自密集.

2、    没有内点 (而是疏朗集 nowhere dense set). 实变函数证明079 |

资料/微信群/   用反证法.  

3、    是可数个互不相交的开区间的并, 总长为    的 测度为   . 实变函数证明080 |

资料/微信群/   第    次挖去    个长度为    的开区间, 其总长为

4、    的基数为   . 实变函数证明081 |

资料/微信群/   在三进制表示中, 第    次挖去的点小数点后第    位是   ; 第    次挖去的点小数点后第    位是   ; 等等, 第    次挖去的点小数点后第    位是   . 所以,  

构造    到    (用二进制表示) 的一一对应:

5、 总结:  

维数观点看 Cantor 集

用测度 (或长度) 来考查 Cantor 集貌似不对. 因为长度为零在我们的直观中就是一点. 基数怎么会为    呢? 元素的个数比自然数集还多呢. 换个方向考虑, 就是维数 (dimension).

Cantor 集的维数为   , 分数维! 感兴趣可以去学分形几何的啦.

2.5-1构造一个正测度且有连续基数的疏朗完备集

给定   , 试构造出一个测度为    且基数为    的疏朗完备集, 并加以证明.

2.5-2用十进制小数表示 0,1 中的数时, 其用不着数字 7 的一切数成一完备集

试证: 用十进制小数表示    中的数时, 其用不着数字    的一切数成一完备集.

维数的认识

(1)、 我们在    节已经知道   ,    的基数相等, 都是   , 从而存在   . 但这样的    未必是连续的.

(2)、 Peano 在 [Peano, G. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. (French) Math. Ann. 36 (1890), no. 1, 157--160] 说明了存在    到    的连续映射, 后被称为 Peano 曲线.

(3)、 在传统概念中, 曲线的维数是 1 维, 正方形是 2 维. 按照通常的理解, 没有宽度的一维的曲线是不可能填满 2 维的方格的. Peano 曲线的存在说明我们对维数的认识是有缺陷的, 有必要重新考察维数的定义.这就是分形几何考虑的问题. 在分形几何中, 维数可以是分数的叫做分数维度.

(4)、 Peano 曲线是连续的但处处不可导的曲线. 因此如果我们想要研究传统意义上的曲线, 就必须加上可导的条件, 以便排除像 Peano 曲线这样的特例.

本章小结

1、 外测度及其三条性质.

2、 可测集及其性质 (最重要的: 对可数并, 可数交, 补封闭; 单增可测集列极限与测度可交换; 测度有限时, 单减可测集列极限与测度可交换).

3、 可测集的例子 (零测度集, 区间, 开集, 闭集, Borel 集).

4、 可测集的构造 ( $\displaystyle G_\del\bs Z_1$ ,  $\displaystyle F_\sigma\cup Z_2$ ).

5、 测度的内外正规性.