点集 (point set)

度量空间 (metric space),    维 Euclidean 空间

度量空间的定义与例子

1、 回忆:  

 中有 距离 (可以衡量两数的接近程度, 这里是绝对值) 的概念, 就可以定义极限.

2、  设    是一个集合,  

满足

(1)、 正定性 (positivity):   ,   ,   ;

(2)、 对称性 (symmetry):   ,   ;

(3)、 三角不等式 (triangle inequality):   ;

则称    为    上的一个距离 (distance),    称为 度量空间 (metric space).

3、 课外延展  

实变函数证明053 |

资料/微信群/     : 显然.   : 取   , 有

互换    的位置得   . 于是   .

4、 度量子空间. 若    是度量空间,   , 则    是度量空间, 称为    的子空间. 比较: 线性子空间: 子集在加法与数量乘法运算下封闭; 度量子空间: 子集中的两个点也有距离嘛.

5、 例. 在    中, 对

定义

则    为度量空间, 称为 **  维 Euclidean 空间**,    称为 Euclidean 距离.

邻域、极限及其它

设    是度量空间,   ,   .

1、 邻域  

2、 极限  

度量空间中点列的极限通过距离函数转化成了数列极限!!

3、  

引导: 平面上点    到直线    的距离; 圆的直径. 画个图来.

4、  

5、    维开、闭区间为

它们都有 体积   .

2.1-1度量空间中两边之差小于等于第三边

设    是度量空间, 试证:

2.1-2度量空间的度量是度量空间到实数集的连续函数, 等你学到第7.3节就会明白了

设    是度量空间, 试证:

2.1-3从一个度量出发诱导出两个度量

设    为    上的一个距离, 则

均是    上的距离.

2.1-4度量空间中极限具有唯一性

设    为度量空间, 若   ,   , 则   . 这就是说, 度量空间中极限具有唯一性.