对等 (equipotency) 与基数 (cardinal)

对等的定义

1、 集合按照元素的个数可以分为有限集与无限集. 有限集有个数的概念:  

2、 思考. 无限集呢? 当然, 你会说无限集有无限多个元素, 没错. 但如何比较元素个数的多少?

3、 对无限集而言, 我们可以推广得到:  

对等的例子

1、 正奇数集合、正偶数集合、整数集都与自然数集对等, 基数相同. 实变函数证明019 |

资料/微信群/    

2、   . 实变函数证明020 |

资料/微信群/   \includegraphics[width=6cm]{tan.pdf}  

3、 两个同心圆对等. 实变函数证明021 |

资料/微信群/   可通过圆心发出的射线与两圆的交点作成一一对应.

传统的,    我们理解为:    的元素会更多.  现代的, Cantor 说: 不行.   , 但    的个数 (基数) 更多.  Cantor 的突破当然也引起了轩然大波...  小作业: 介绍下 Cantor, 并详述与本节相关的内容.

对等的性质

1、 自反性 (reflexivity):   ;

2、 对称性 (symmetry):   ;

3、 传递性 (transitivity):   .

这表明集合的对等是一个等价关系 (equivalence relation, 近世代数/点集拓扑课程都会讲的啊).

基数的比较

1、 思考.    中有   ,   ,    关系 (任意两个数   ,    三者必居其一且仅居其一), 集合的基数是否可以比较呢, 也有类似的性质么? 实变函数证明022 |

资料/微信群/   能! 有!

2、 定义.

3、 推论:  

实变函数证明023 |

资料/微信群/     : 设   , 则  

: 设   , 则  

4、 对任何   ,  

三者必居其一且仅居其一.

5、 思考.    中有   , 集合的包含关系有   . 对集合的基数而言有类似的关系么? 实变函数证明024 |

资料/微信群/   有!

6、 Bernstein 定理.

7、 例 类比数列极限的夹逼原理.  

实变函数证明025 |

资料/微信群/   由传递性, 仅需证明   . 这可用 Bernstein 定理来证:  

8、 例. 所有 (开、闭、半开半闭、无穷) 区间均与    对等. 实变函数证明026 |

资料/微信群/   由  

知  

再由上例及  

知    上所有区间均与    对等.

9、 例.    中的单位球面 (地球仪) 去掉北极点与平面    (墙上地图) 通过球极投影 (Stereographic projection)一一对应. 实变函数证明027 |

资料/微信群/

小作业: 给出平面上点   , 请问通过球极投影映到了单位球上的哪个点   .  小作业: 给出单位球上点   , 请问通过球极投影映到了平面上的哪个点   .

1.3-1若差与差对等, 则集合对等

设   , 试证:   .

1.3-2将圆周除去一点后余下的点所成集合能否与实数集对等

将圆周除去一点后余下的点所成集合能否与实数集对等?

1.3-3将球面除去一点后余下的点所成集合能否与平面对等

将球面除去一点后余下的点所成集合能否与平面对等?

1.3-4写出对等的定义, 并画图说明不同范数下的单位圆周是对等的

写出对等的定义, 并画图说明下列集合是对等的:    的边界,   ,   .

1.3-5自然数与整数集的一一对应

作出一个自然数集    到整数集    的一一对应.

1.3-6开区间与实数集的一一对应

作出一个    到    的一一对应, 并写出该对应的解析表达式.

1.3-7集合的迫对等性

设有集合   , 试证: