冯·诺依曼提出的最小最大法和最大最小法，是用来寻求二人零和博弈的纯策略纳什均衡。

1. 零和博弈的特性：一方所得即为另一方的所失；一方为优另一方即为劣。

如“掷硬币”博弈中参与人“A”与“B”的支付矩阵

2. 最小最大法依托的“悲观”想法

由于零和博弈的性质，任何能使你的对手得到最好支付的选择，都会使你获得最差的支付。

作为局中人，你应该猜想你的对手将采取对他自己最有利的战略。也就是说，你的对手将选择一个使你获得尽可能差的战略。

所以，局中人在进行零和博弈时，对他们自己取得好结果的机会抱“悲观”的态度。

 

求解方法：

对一个参与人来说：

–  从本人的角度看，对手让我小，我就小中取大；

–  从对手的角度看，本人力争最大，对手则尽可能使本人大中得小。

以上同时满足，双方的理性都得到满足，如果有相同的解，即为博弈的均衡。

 例4                                       

		乙
		上	下
甲	上	-3	4	min=-3
	下	10	6	min=6
		max=10	max=6

得出：maxmin=minmax=6

因此，该博弈的纳什均衡为（下，下）。

 

练习1：                     

		乙
		上	下
甲	上	-9,9	4,-4
	下	5,-5	6,-6

 

答案：该博弈为零和博弈，首先列出该博弈中“甲”的支付矩阵 ，用最小最大法求解       

                                       

		乙
		左	右
甲	上	-9	4	min=-9
	下	5	6	min=5
		max=5	max=6

有maxmin=minmax=5

    可得，甲、乙的纯策略纳什均衡为（下，左）

 

练习2   用最大最小法求解下列博弈的纯策略纳什均衡。                     

		乙
		L	M
甲	U	(6，-4)	(5，-3)
	M	(-6，8)	(-2，4)

 

答案：（1）经分析，该博弈为常和博弈，可以通过偏零因子将该常和博弈转化为对应的零和博弈，然后用最小最大的方法进行纯策略纳什均衡的求解。其中，常和为2，偏零因子 为1。

（2）将常和博弈支付矩阵中的每个支付值都减去偏零因子，可得对应的零和博弈，如下：                     

		乙
		L	M
甲	U	(5，-5)	(4，-4)
	M	(-7，7)	(-3，3)

 

（3）列出上述零和博弈中参与人“甲”的支付矩阵，并用最小最大法求解纯策略纳什均衡                                       

		乙
		L	M
甲	U	5	4	min=4
	M	-7	-3	min=-7
		max=5	max=4

有maxmin=minmax=4

可得，参与人甲乙的纯策略纳什均衡为（U，M）。