一、作业

1、求椭圆曲线方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上，平常点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。
　　解：（1）先求点-R(x3,y3)
　　因为P,Q,-R三点共线，故设共线方程为y=kx+b,其中
　　若P≠Q(P,Q两点不重合) 则
　　直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
　　若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线，故由例3.1可知：
k=(3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x+a3)

　　因此P,Q,-R三点的坐标值就是方程组：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6-----------------[1]
y=(kx+b)-----------------[2]
的解。

　　将[2]，代入[1] 有
(kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b)=x3+a2x2+a4x+a6 --------[3]
　　对[3]化为一般方程，根据三次方程根与系数关系（当三次项系数为1时；-x1x2x3 等于常数项系数， x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数，-(x1+x2+x3)等于二次项系数。）
　　所以-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2
x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标
　　因为k=(y1-y3)/(x1-x3)故
y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

　　（2）利用-R求R
　　显然有x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标
　　而y3y4 为 x=x4时方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解
　　化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0, 根据二次方程根与系数关系得：
-(a1x+a3)=y3+y4
　　故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3);---------------求出点R的纵坐标
　　即：
x4=k2+ka1+a2+x1+x2;
y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

2、 已知E23(1,1)上两点P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3)2P。
　　解 1) –P的值为(3,-10)
2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元为12 因为2*12≡1(mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
　　　　　故P+Q的坐标为(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
　　　　　故2P的坐标为(7,12)